Economie politique

3715 mots 15 pages
Cours d’ANALYSE MATHEMATIQUE Chapitre 1. Etude des fonctions §4. fonctions continues et limites de fonctions

Michel CHARNAY et Gérard DUBOIS
Pôle de Mathématiques Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

6 mai 2008 Révision 18 septembre 2009

Table des matières
4 Fonctions continues et limites de fonctions 1

4 FONCTIONS CONTINUES ET LIMITES DE FONCTIONS

4

Fonctions continues et limites de fonctions

Dans cette section nous étudions des fonctions définies sur des parties de R et à valeurs réelles. On rappelle que l’ensemble sur lequel une fonction f est définie est appelé son domaine et est noté Dom(f ). La plupart du temps les fonctions avec lesquelles nous aurons à faire seront définies sur des intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts ou des réunions d’intervalles de ce type. Par√ exemple√ fonction √(x) = (2 − x2 )−1 est définie la √ f sur la réunion des intervalles (−∞, − 2 [, ] − 2, + 2 [, ] 2, +∞) mais pas aux points √ √ − 2 et + 2. Définition. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si elle vérifie la propriété suivante : ∀ε > 0, ∃ δ(ε, c) > 0, f(x) ∀x ∈ Dom(f ),

|x − c| ≤ δ =⇒ |f (x) − f (c)| ≤ ε

(1)

f(c)+ε f(c) f(c)−ε

c−δ

c

c+δ

x

La fonction f est dite continue si elle est continue en tout point de Dom(f ). Exemple 1. Considérons la fonction x ∈ R → f (x) = x2 et prenons une valeur réelle c quelconque. Alors, f (x) − f (c) = x2 − c2 = (x − c)(x + c)

et pour |x − c| ≤ δ ⇐⇒ −δ ≤ x − c ≤ δ on a |x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + δ. Il en résulte les inégalités |(x − c)(x + c)| ≤ δ(2|c| + δ) ≤ ε df √ df avec δ = min( ε/2, ε/(4|c|)) si c = 0 ou δ = ε si c = 0 et ceci pour un réel ε positif quelconque. Comme c est une valeur arbitraire, f est donc continue sur R. s

Bien souvent il est utile d’avoir un critère de continuité impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque

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