DM2_fonction cos

292 mots 2 pages
1S4

Devoir maison n°2 de Mathématiques
(à rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !)

La fonction cosinus :
On considère la fonction f définie par

f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe

  représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j .

(

Unités : 1cm pour

π
4

en abscisses et 1cm pour

)

1 en ordonnée.
4

1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f .
b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) .
c) En s’aidant alors de dessins, en déduire des symétries éventuelles pour c.
2°) Expliquer alors pourquoi l’étude de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; π ] suffit pour en déduire ses variations sur
3°) a) Soit deux réels

ℝ et sa courbe c. Pour la suite, notons I = [ 0 ; π ] .

a, b ∈ I , tels que a < b .

Comparer f ( a ) et f ( b ) . (On pourra s’aider du cercle trigonométrique).
b) Qu’en déduit-on pour la fonction f ?
4°) a) Dresser alors le tableau de variation de f sur [ −π ; π ] puis construire c pour

x ∈ [ −π ; π ] , en respectant les unités données en début de devoir.
b) Retrouver ce résultat avec « Xcas » en tapant : graphe(cos(x),x=-pi..pi)

1 y =

5°) a) Tracer sur votre graphique la droite d d’équation
.
2
b) Retrouver ce résultat avec « Xcas » en tapant : graphe([cos(x),-1/2],x=-pi..pi)
c) Joindre une impression des deux courbes obtenues à votre devoir.
6°) Résoudre alors dans ]−π ; π ] l’inéquation cos x ≤ −

1
. On représentera l’ensemble
2

des solutions sur le cercle trigonométrique.
7°) Résoudre algébriquement dans ]−π ; 2π ] l’équation 2 cos vous aidant éventuellement du cercle trigonométrique.

2

( x ) + cos ( x ) − 1 = 0 , en

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