Université de Douala
Ecole Nationale Supérieure
Polytechnique de Douala
Equations aux Dérivées partielles
Quelques implémentations avec Python
Année académique 2021-2022
Dr.rer.nat. Patrick Njionou, S.
Ph.D. in Mathematics iEARN Master Teacher, USA patrick.njionou@aims-cameroon.orgTable des matières
1 Rappels sur les séries de Fourier 1
1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

Exemple 2.12. Trouver la transformée de Laplace de f (t) = t sin ωt par le procédé de la transformée des dérivées successives.
On a : f (t) = t sin ωt ⇒ f (0) = 0 f ′(t) = sin ωt + ωt cos ωt⇒ f ′(0) = 0 f ′′(t) = −ω2t sin ωt + 2ω cos ωt
En utilisant la formule
L( f ′′(t))(p) = p2L( f (t))(p)− p f (0)− f ′(0), on arrive à
L[−ω2t sin ωt](p) = p2L[t sin ωt](p)− p.0− 0, or :
L[−ω2t sin ωt](p) = −ω2L[t sin ωt](p)+ 2ωL[cos ωt](p) = −ω2L[cos ωt](p)+
2ωp
p2 + ω2 on en déduit que
L[t sin ωt](p) =
2ωp
(p2 + ω2)2 .
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 15 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022Patrick Njionou,S.
2.2.5 La transformée de Laplace d’un produit de convolution
On rappelle que le produit de convolution de deux fonctions f et g est défini …afficher plus de contenu…

3. Vérifier que ∧ = Π ? Π. Retrouver le resultat de la question 2..
2.3.2 Exercices de transformée de Laplace
Exercice 2.15. Trouver la transformée de Laplace à partir de la propriété de la trans- formée d’une dérivée n−ième, et des relations trigonométriques, des fonctions sui- vantes :
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 22 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022Patrick Njionou,S.
1. f (t) = cos2 ωt
2. f (t) = teat
3. f (t) = cosh2 at
4. f (t) = sinh2 at.
Exercice 2.16. Toujours à l’aide de la propriété de transformée de la dérivée n−ième, montrer que :
1. L(t cos ωt)(p) = p2−ω2
(p2+ω2)2 .
2. L(t sin ωt)(p) = 2pω
(p2+ω2)2 .
3. L(t cosh ωt)(p) = p2+ω2
(p2−ω2)2 .
4. L(t sinh ωt)(p) = 2pω
(p2−ω2)2