Est-il injurieux de definir l'homme par l'inconscient?

Pages: 50 (12300 mots) Publié le: 13 janvier 2011
Chapitre 3

´ ´ ´ R ESOLUTION NUM ERIQUE DES EQUATIONS ´ ´ DIFF ERENTIELLES ET DES EQUATIONS ´ ´ AUX D ERIV EES PAR TIELLES

L

es équations différentielles interviennent dans de nombreux domaines comme la mécanique, l’astronomie, la biologie, la médecine, etc. Généralement, on ne peut pas calculer la solution de ces équations de manière exacte. Il est alors nécessaire d’utiliser desméthodes numériques qui donneront des bonnes approximations des solutions pour un coût de calcul qui ne soit pas trop important. La première de ces méthodes est la méthode d’Euler (due au mathématicien suisse Leonhard Euler [1707-1783]) ; mais l’étude de ces méthodes s’est surtout développée à partir des années cinquante avec l’apparition des ordinateurs . Pour calculer une approximation de la solutiond’une équation différentielle avec condition initiale sur un intervalle [t0 , t0 + T ], on subdivise cet intervalle en sous-intervalles d’extrémités t0 < t1 < ... < tN = t0 + T et on cherche une valeur approchée de la solution en ces points tn , n = 0...N. On étudiera dans ce chapitre deux types de méthodes : les méthodes à un pas où la valeur approchée de la solution au temps tn+1 est obtenue àpartir de la valeur au temps tn , et les méthodes multipas où le calcul de la valeur approchée en tn+1 fait intervenir plusieurs valeurs approchées antérieures. Cependant, les problèmes issus de la physique font généralement intervenir plusieurs variables d’espace et une variable de temps.

On présente dans ce chapitre des exemples simples des trois types d’équations aux dérivées partielles. Lesproblèmes elliptiques, qui modélisent par exemple l’équation de la chaleur en stationnaire, sont résolus par des méthodes d’éléments finis ; le principe de ces méthodes est de déterminer une solution approchée dans un espace de dimension finie dont les fonctions de base possèdent des propriétés d’orthogonalité et sont faciles à intégrer ou dériver ; le calcul de la solution approchée se ramène alors àla résolution d’un système linéaire dont la matrice est creuse. L’exemple type de problèmes paraboliques est l’équation de la chaleur en évolution, qui fait intervenir cette fois une variable supplémentaire : le temps. Ces problèmes sont semi-discrétisés en espace par une méthode d’éléments finis, ce qui conduit à un système d’équations différentielles, qui est ensuite discrétisé en temps par uneméthode adaptée à ce type de problème. Enfin, la propagation d’ondes est envisagée dans le cadre des équations non linéaires du premier ordre en temps et en espace, qui sont des équations de type hyperbolique. La notion de caractéristique est introduite, permettant la résolution explicite de ces équations sous forme d’ondes de choc ou de détente, dans le cadre particulier du problème de Riemann, puisla construction de schémas numériques adaptés à l’approximation de ce type de problème.
Leonhard Euler (1707-1783)

162

I. La méthode d’Euler
Partie I. Analyse numérique

I.1. Généralités
Soit [t0 , t0 + T ] un intervalle fermé de R, f une fonction continue de [t0 , t0 + T ] × Rp dans Rp , y0 un élément de Rp ; on cherche une fonction y ∈ C1 ([t0 , t0 + T ]; Rp ) qui vérifie

∀t ∈ [t0 ,t0 + T ], y (t) = f(t, y(t)) y(t0 ) = y0 .

(3.1) (3.2)

Ce problème est le problème de Cauchy pour l’équation différentielle (3.1) et la condition (3.2) est une condition de Cauchy. Souvent t représente le temps ; t0 est alors appelé instant initial et y0 condition initiale. La donnée de f est équivalente à la donnée de p fonctions f1 , f2 , . . . , fp continues de [t0 , t0 + T ] × Rp dans Ret l’équation différentielle est équivalente au système différentiel : ⎧ ⎪ ⎪y1 (t) = f1 (t, y1 (t), . . . , yp (t)) ⎨ . . . . ⎪ ⎪ ⎩ yp (t) = fp (t, y1 (t), . . . , yp (t)) Les équations différentielles précédentes sont du premier ordre car elles ne font intervenir que les dérivées premières de y. On peut plus généralement considérer des équations différentielles d’ordre supérieur, mais elles se...
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