Chapitre 3

´ ´ ´ R ESOLUTION NUM ERIQUE DES EQUATIONS ´ ´ DIFF ERENTIELLES ET DES EQUATIONS ´ ´ AUX D ERIV EES PAR TIELLES

L

es équations différentielles interviennent dans de nombreux domaines comme la mécanique, l’astronomie, la biologie, la médecine, etc. Généralement, on ne peut pas calculer la solution de ces équations de manière exacte. Il est alors nécessaire d’utiliser des méthodes numériques qui donneront des bonnes approximations des solutions pour un coût de calcul qui ne soit pas trop important. La première de ces méthodes est la méthode d’Euler (due au mathématicien suisse Leonhard Euler [1707-1783]) ; mais l’étude de ces méthodes s’est surtout développée à partir des années cinquante avec l’apparition des ordinateurs . Pour calculer une approximation de la solution d’une équation différentielle avec condition initiale sur un intervalle [t0 , t0 + T ], on subdivise cet intervalle en sous-intervalles d’extrémités t0 < t1 < ... < tN = t0 + T et on cherche une valeur approchée de la solution en ces points tn , n = 0...N. On étudiera dans ce chapitre deux types de méthodes : les méthodes à un pas où la valeur approchée de la solution au temps tn+1 est obtenue à partir de la valeur au temps tn , et les méthodes multipas où le calcul de la valeur approchée en tn+1 fait intervenir plusieurs valeurs approchées antérieures. Cependant, les problèmes issus de la physique font généralement intervenir plusieurs variables d’espace et une variable de temps.

On présente dans ce chapitre des exemples simples des trois types d’équations aux dérivées partielles. Les problèmes elliptiques, qui modélisent par exemple l’équation de la chaleur en stationnaire, sont résolus par des méthodes d’éléments finis ; le principe de ces méthodes est de déterminer une solution approchée dans un espace de dimension finie dont les fonctions de base possèdent des propriétés d’orthogonalité et sont faciles à intégrer ou dériver ; le calcul de la solution approchée se ramène alors