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Evaluation du cours de mécanique des fluides

1172 mots 5 pages
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Evaluation du cours de Mécanique des Fluides

Etudiants de N+I GPE 2014

Réalisé par :

Paul Chaboureau
Prashant Arora
Rechoum Abou Bakr Esseddik

1

Exercice 1 :
En passant au tour du cylindre, le fluide est dévié de telle sorte que sa vitesse change de direction (le mouvement n’est pas uniforme), et aussi sa valeur absolu diminue par les effets des contraintes visqueuses. Dans notre cas on utilise le théorème d’Euler pour déterminer la force exercée par le fluide sur le cylindre. Pour cela on simplifiera les équations de Navier Stokes par les hypothèses suivantes :
- L’écoulement est bidimensionnel.
- L’écoulement est stationnaire.
- La force de gravité est négligeable.
- Dans le domaine d’étude on considère que les effets de viscosités sont seulement sous la forme de dissipation. - On suppose que le vecteur vitesse ne dépend pas de y.
- On applique les équations de Navier Stokes sur le domaine ABEF :

2

2

2

⎧ 𝜌𝜌 �𝜕𝜕𝑈𝑈𝑥𝑥 + 𝑈𝑈 𝜕𝜕𝑈𝑈𝑥𝑥 + 𝑈𝑈 𝜕𝜕𝑈𝑈𝑥𝑥 + 𝑈𝑈 𝜕𝜕𝑈𝑈𝑥𝑥 � = 𝜌𝜌𝑔𝑔 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 �𝜕𝜕 𝑈𝑈𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 𝑈𝑈𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 𝑈𝑈𝑥𝑥 �
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
𝜕𝜕𝑧𝑧2
⎪
⎪
⎪
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑦𝑦
𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑦𝑦 𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑦𝑦 𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜌𝜌 �
+ 𝑈𝑈𝑥𝑥
+ 𝑈𝑈𝑦𝑦
+ 𝑈𝑈𝑧𝑧
� = 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑦𝑦 −
+ 𝜇𝜇 � 2 +
+
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑦𝑦2
𝜕𝜕𝑧𝑧2
⎨
⎪
⎪
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑈𝑈𝑧𝑧
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑧𝑧 𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑧𝑧 𝜕𝜕2 𝑈𝑈𝑧𝑧
⎪ 𝜌𝜌 � 𝑧𝑧 + 𝑈𝑈𝑥𝑥
+ 𝑈𝑈𝑦𝑦
+ 𝑈𝑈𝑧𝑧
� = 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑧𝑧 −
+ 𝜇𝜇 � 2 +
+
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑦𝑦2
𝜕𝜕𝑧𝑧2
⎩
Après simplifications on a :

-

𝑢𝑢𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜌𝜌𝜌𝜌𝑥𝑥
=−
+ 𝑓𝑓𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑢𝑢𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜌𝜌𝜌𝜌𝑥𝑥
=−
+ 𝑓𝑓𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕

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