Exemple d'exercice de mécanique
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Exemple d’exerciceApplication - Projectile dans un champ de pesanteur uniforme
Un projectile est lancé à la date t0 = 0 avec une vitesse initiale v 0
faisant un angle avec l’horizontale. Le repère d'étude (O, e1 , e2 ,
e3 ) est tel que l'origine O coïncide avec la position du centre g
d'inertie G du solide à la date t0. Le plan (O, e1 , e2 ) contient le
vecteur v 0 . Les frottements peuvent être négligés.
y
v0 e2 e3 o e1 x
z
Le champ de pesanteur g est équivalent à une accélération a :
0 vx
- g v y
0 v
z
On peut résoudre analytiquement ces trois équations différentielles et obtenir les équations paramétriques de la vitesse :
vx A v y g.t B vz C
A, B et C sont des constantes qui dépendent des conditions initiales (à la date t0 = 0) :
v x 0 v 0 . cos v y 0 v 0 . sin vz 0 0
A v 0 . cos
B v 0 . sin
C0
v x v 0 . cos v y g.t v 0 . sin vz 0
On peut résoudre analytiquement ces trois nouvelles équations différentielles et obtenir les équations paramétriques du mouvement : x v 0 . cos ( ).t A'
1
y g.t 2 v 0 . sin ( ).t B'
2
z C'
A’, B’ et C’ sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. A la date t 0 = 0, les coordonnées sont nulles : x v 0 . cos ( ).t
1
y g.t 2 v 0 . sin ( ).t
2
z0
A tout instant la coordonnée z est nulle : le mouvement s'effectue dans le plan (O, e1 , e2 ). x0 0 v 0 . cos ( ).t 0 A'
1 2 y 0 0 g.t 0 v 0 . sin ( ).t 0 B'
2
z0 0 C '
1
Exemple d’exercice
x v 0 . cos ( ).t
Equation de la trajectoire :
t
x v 0 . cos
v . sin
1
x2
1
g
2
y g 2
0
2
v . cos x - 2 v 2 . cos2 x tan ( ).x
2 v 0 . cos 0
0
Influence de la valeur de la vitesse initiale v0 sur la trajectoire du projectile y v0 1 < v0