Ecole Nationale des Sciences Appliquées d'Agadir Finance et Ingénierie Décisionnelle
Exercices :
Calcul stochastique pour la �nance
Brahim EL ASRI
2019-2020Exercice 1.
1. Soit X une v.a. intégrable. Montrer que (E[X|Ft], t ≥ 0) est une martingale.
2. Montrer que si M est une martingale et A un processus croissant adapté (As ≤
At ∀s ≤ t) alors M − A est une surmartingale.
3. Montrer qu'une surmartingale telle que E[ZT ] = E[Z0] est une martingale sur [0, T ].
Exercice 2.
1. Un processus adapté (Mt)t≥0 …afficher plus de contenu…

La fonction ϕ dé�nie par ϕ(t) = E[M2 t ] est croissante.
4. En déduire que M2 t est une F -sousmartingale. Aurait on pu obtenir ce résultat plus rapidement ?
Exercice 4.
Soit X un PAI (processus à accroissements indépendants, c'est-à-dire tel que, pour t > s, la v.a. Xt −Xs est indépendante de σ(Xu, u ≤ s)). Montrer que, si, pour tout t, la v.a.
Xt est intégrable, X est une martingale et que si X est de carré intégrable, X2 t − E[X2 t ] est une martingale. Montrer que, si exp(λXt) est intégrable, Zt = exp(λXt)
E[exp(λXt)]
, est une martingale. Exercice 5.
Soit (Bt, t ≥ 0) un mouvement brownien réel. Montrer les résultats suivants :
1. (Bt, t ≥ 0) est une martingale.
2. (B2 t − t, t ≥ 0) est une martingale.
3. (B3 t − 3tBt, t ≥ 0) est une …afficher plus de contenu…

On pose
St = exp((µ− σ2
2
)t+ σBt)
1. Ecrire l'EDS dont S−1 t est solution.
2. Démontrer que : d(XtS −1 t ) = S−1 t ((µ′ − σσ′)dt+ σ′dBt).
3. En déduire une expression pour Xt.
Exercice 17. Covariation quadratique et Formule d'Intégration par partie
La covariation quadratique entre 2 processus X et Y est par dé�nition :
⟨X,Y ⟩ = 1
4
(⟨X + Y ⟩ − ⟨X − Y ⟩).
1. Montrer que l'application (X, Y ) → ⟨X, Y ⟩ est bilinéaire.
2. Soient 2 processus d'Itô X1 et X2 donnés par : dX i t = φi tdt+ θitdBt, i = 1, 2.
Montrer que la covariation quadratique entre X1 et X2 est donnée par
⟨X1, X2⟩t =
∫ t
0
θ1sθ
2
sds.
3. Soient X et Y deux processus d'Ito, démontrer la formule d'intégration par partie :
XtYt = X0Y0 +
∫ t
0
XsdYs