Exposé

Pages: 25 (6029 mots) Publié le: 3 août 2010
LARGEUR ANALYTIQUE DE FILTRATION DE MODULES
réalisé par KOUAKOU Dongoh Franck Judicael sous l’encadrement du Pr Daouda SANGARE 2 Octobre 2009
1

d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 15 BP 1570 Abidjan , (Côte d’Ivoire), E-mail : dongohfranck0@yahoo.fr 2 Université d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 02 BP 801 Abidjan 02,(Côte d’Ivoire), E-mail : dsangare@yahoo.fr.

1 Université

Table des matières
Sujet : FONCTIONS DE HILBERT ET LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DE MODULES iii PLAN DE L’EXPOSE 1 Filtrations 1.1 Notion de Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anneau de Rees d’une filtration . . . . . . . . . . . 1.3 Anneaux gradués associés à unefiltration . . . . . . 1.3.1 lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Classification des filtrations . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Filtration I−bonne . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Filtrations approximables par des puissances 1.4.3 Filtration noethérienne . . . . . . . . . . . . 2 Largeur analytique des filtrations d’idéaux 2.1 Fonctions de Hilbert d’anneaux gradués . . . . . . 2.1.1Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Largeur analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Système générateur minimal d’unmodule . 2.2.2 Largeur analytique d’un idéal . . . . . . . 2.2.3 Largeur analytique de filtrations d’idéaux . 1 3 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’idéaux . . . . .

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3 Largeur analytique des filtrations de modules 3.1 Filtrations de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Classification de filtrations de modules . . . . . 3.1.3 Modules gradués associés à une filtration de M 3.2 Largeur analytique des filtrations de module . . . . . . 3.2.1Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Cas d’une filtration I−adique de M . . . . . . . 3.2.3 Cas d’une filtration I−bonne de M . . . . . . . 3.2.4 Cas d’une filtration f −bonne . . . . . . . . . . 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sujet : FONCTIONS DE HILBERT ET LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DE MODULES

iii

PLAN DE L’EXPOSE
INTRODUCTION Chapitre 1 : FILTRATIONS Chapitre 2 :LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS D’IDEAUX Chapitre 3 :LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DEMODULES CONCLUSION

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Introduction
A Soit (A, m, k) un anneau local noethérien de corps résiduel k = m . Pour In tout idéal I de A, le A−module mI n (n ∈ N) est muni d’une structure de k−espace vectoriel de dimension finie. Dans [NR], Northcott et Rees ont In montré que la fonction ϕI : n → dimk mI n , qui mesure le nombre minimal de générateurs de l’idéal I n ,est de type polynomial. Puis ilsont défini la largeur analytique de l’idéal I comme étant le nombre λ(I) = 1 + degϕI . L’introduction de ce nombre a connu un grand succès pour ces différentes caractérisations. Certains auteurs ont étendu la notion de la largeur analytique aux filtrations d’idéaux. C’est ainsi qu’ils ont étudié, pour une filtration f = (In )n∈Z donnée, le comportement asymptotique de la fonction In ϕf : n → dimk...
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