Mathématiques Bac ES

Fonctions exponentielles et croissances comparées
Si le cours sur l’exponentielle est maîtrisé, celui-ci ne posera aucun souci. Même si les formules se retrouvent assez facilement, il est préférable de bien les connaître le jour de l’examen afin de gagner un temps précieux. Enfin, il ne faudra pas oublier de traiter plusieurs cas si la valeur de a n’est pas donnée. 1. Fonctions exponentielles Définition

 avec a  0 et x réel quelconque.

a e x x ln(a)



Règles de calcul Dans le cas où les exposants sont des réels quelconques, les règles de calculs sont les mêmes que dans le cas  où les  exposants sont entiers. Ainsi pour tout réels strictement positifs a,b et tous réels x, y : x 1  ab  a b    a x a    x x x

a a a x y

xy

a   a x y

xy

ax  a xy ay

x a  a x    x b  b



De plus ln(ab )  b ln(a) .

   Si a  0, a n est l’unique nombre strictement positif dont la puissance n est égale à a .Par exemple,
3 27  3 car 3  27 .



1



1 3



Moyenne géométrique 







La moyenne géométrique des nombres strictement positifs a1,a2 ,...,an est égale à a1  a2  ... an n .  Fonctions a a x ( a  0) x La fonction a a x est appelée fonction exponentielle de base a ( a  0 ). x   x La dérivée de a a x est a a x ln(a). x

1

  de variation Sens    Si a 1 , la fonction a a x est strictement croissante. x  Si 0  a 1 , la fonction a a x est strictement décroissante. x    
Comportement asymptotique  Si a 1, alors lim a x  0 et lim a x  . x x

x x  x Si 0  a 1, alors lim a   et lim a x  0 .



2. Croissances comparées



Pour tout entier naturel non nul n , on a :





ex lim   x x n

x

lim x e  0 n x

ln(x) lim 0 x x n

ex   x ln(x) lim



Les automatismes à avoir Pour lever une