Formation des prix

Pages: 13 (3001 mots) Publié le: 12 août 2012
tFormation des Chapitre prix
1. Rappels 2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Maximum d’une fonction • La condition nécessaire pour que la fonction f d’une variable x atteigne son maximum est : f ′ (x ) =  • La condition nécessaire pour que la fonction f de deux variables x et y atteigne son maximum par rapport à x est : ∂f( x , y ) ––––––– =  ∂x (1)

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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Exemple 1) Trouver la condition nécessaire pour que x – x atteigne son maximum 2) Trouver la condition nécessaire pour que xy – x atteigne son maximum Solution 1) f ′(x) =  – x =  ⇔ x= 2) ∂f( x , y ) ––––––– = y – x =  ∂x ⇔ x = y
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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Fonction implicite Soit la fonction g de deux variables x et y On dit que x est une fonction implicite de y, notée x = φ(y), si : g (x , y) = k où k est une constante La dérivée de x par rapport à y est alors : )/∂ ∂g(x , y)/∂y φ′(y) = – –––––––––– )/∂ ∂g(x , y)/∂x(2)

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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Exemple Soit g(x , y ) = xy 1) Trouver la fonction qui lie x implicitement à y étant donné que g (x , y ) =  2) Trouver la dérivée de cette fonction Solution 1) x = φ(y) = /y y 2) ∂g(x , y )/∂x = y )/∂ )/∂ ∂g(x , y )/∂y = x

φ′(y) = –x/y x y= –/y  y
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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Théorème de l’enveloppe Soit la fonction f de la variable x et du paramètre a Soit x le maximum de f par rapport à x Conformément à (1) et (2), x dépend de a On peut donc définir pour tout a la fonction V de a : V( a ) = f( x ( a ) , a )Le théorème de l’enveloppe indique que ∂f( x ( a ) , a ) V ′(a) = –––––––––– ∂a
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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Exemple 1) Trouver la condition nécessaire pour que ax – x atteigne son maximum 2) Calculer V(a) = f(x (a), a) et sa dérivée 3) Vérifier le théorème de l’enveloppeSolution 1) a – x =  ⇔ x = a 2) V(a) = a×a – (a) a× a) = a – a = a ⇒ V ′(a) = a 3) ∂f(x (a), a)/∂a = x = a ∂
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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Dérivée en chaîne Soit la fonction f dépendant de y, y étant elle-même fonction de x On peut définir la fonction g dépendant de xen posant : g(x) = f(y(x)) La dérivée de g par rapport à x est la dérivée en chaîne ))y g′(x) = f ′(y(x))y′(x)

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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Exemple Soient f(y) = y et y(x) = (x + ) 1) Trouver la fonction g(x) = f(y(x)) 2) Trouver sa dérivée Solution 1) g(x) = (x + ) 2) f′(y) = y y′ (x ) =  ⇒ g′(x) = y× y× = y =  (x +  )
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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Intégration par parties Soient deux fonctions f et g dépendant de x L’intégrale est égale à :   x ⌠ x – f ′(x)g(x)dx I = f( x ) g ( x )    x ⌡ x  ⌠ x I =  f(x)g′(x)dx ⌡ x

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2. Discrimination 3. Différentiation

1. Rappels
A. Mathématiques

Exemple Calculer

⌠ x xln lnxdx I =  xlnxdx ⌡ x g′(x) = x g (x ) = x   x  –  x ⌠ x  xdx ⌡ x

Solution 1) f(x) = lnx lnx ⇒ f′(x) = /x x  lnx I = xlnx 

  x = x(lnx – /) lnx    x
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