Formulaire de statistiques

Pages: 7 (1681 mots) Publié le: 14 mars 2013
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FORMULAIRE DE STATISTIQUES
Synthèse sur les DISTRIBUTIONS D’ÉCHANTILLONNAGE  Distribution d’échantillonnage d’une moyenne Soit une population dans laquelle on étudie une certaine variable X Soit X la distribution d’échantillonnage des moyennes (c’est-à-dire la variable aléatoire qui associe à chaque échantillons de taille n extrait d’une population de taille N, de moyenne  etd’écart-type , la moyenne de cet échantillon) Cas 1 L’ECHANTILLON EST GRAND (n  30)  la distribution de la variable X dans la population-mère EST normale OU NON Dans ce cas : 1. la distribution dec suit une loi normale (par application du Théorème Central Limite si la distribution de la population-mère n’est pas normale) 2. la moyenne de la DE de X est : E X   ET : Option 1 :  est connu dans lapopulation

 

3. la variance de la DE est : V X  4. l’écart réduit Z 

 

²
n

et l’écart-type :  X 

 


n

X 



suit une loi normale centrée réduite

n

Option 2 :  est inconnu dans la population 3. la variance de la DE est1 : V X 

 

s² n 1

et l’écart-type :  X 

 

s n -1

4. l’écart réduit Z 
Cas 2

X  s n 1

suit une loinormale centrée réduite

L’ECHANTILLON EST PETIT (n < 30)  la distribution de la variable X dans la population-mère EST normale ET : Option 1 :  est connu dans la population Cas identique au Cas 1, Option 1 ci-dessus Option 2 :  est inconnu dans la population 1. le Théorème Central Limite ne s’applique plus (n < 30) 3. l’écart réduit t 

X  s n 1

ne suit plus une loi normale centréeréduite mais une loi de

Student à  = n - 1 degrés de liberté  la distribution de la variable X dans la population-mère N’est PAS normale Cas non traité ; ce qui précède ne s’applique plus

1

Comme  (dans la population) n’est pas connu, il est remplacé dans les formules précédentes par son estimateur sans biais

(cf. paragraphe suivant), à savoir 11.11a

n  s , où s est l’écart type del’échantillon n 1
ISAM-IAE Nancy Statistiques

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 Distribution d’échantillonnage d’une proportion Soit une population dans laquelle on étudie une certaine variable X Soit P (variable aléatoire) la fréquence d’échantillon associée à tous les échantillons de taille n extraits d’une population de taille N, où la fréquence (proportion d’individus qui possèdent un caractère qualitatif C)du caractère étudié est   la distribution de la variable X dans la population-mère est normale ou inconnue  MAIS l’échantillon est grand (n  30) Dans ce cas : 1. la distribution de P suit une loi normale 2. la moyenne de la DE de P est : EP   3. la variance de la DE est : V P  4. l’écart réduit Z 

 (1   )
n

et l’écart-type :  P 

 (1   )
n

P  suit une loinormale centrée réduite  (P)

 Distribution d’échantillonnage d’une variance d’échantillon Soit s² la variance d’un échantillon de taille n extrait d’une population de taille N, dont la variance est ² Si l’on extrait un échantillon de taille n d’une population normale de variance inconnue, on admet que :

ns ²   2 (n  1) ²

(Loi du Khi-deux à  = n - 1 degrés de liberté)

Synthèse desESTIMATIONS par intervalle de confiance  Estimation par intervalle de confiance d’une moyenne Population-mère très grande n  30, population Normale Variance  2 connue Variance  2 inconnue

X suit une LN

X suit une LN

   IC   X  Z   1 n 2 
n < 30, population Normale

X suit une LN

 s  IC   X  Z   1 n 1 2  X suit une loi de Student
à  = n - 1 degrés deliberté

   IC   X  Z   1 n 2 
 Estimation par intervalle de confiance d’une proportion Population-mère très grande ; n  30

 IC   X  t  1 2 

  n 1 s

P suit une LN

 IC   p  Z  1 2 
 Estimation par intervalle de confiance d’une variance

p(1  p)   n 

nS²/² suit une loi du Khi-Deux à  = n - 1 degrés de liberté

 n  n IC   2 s ²; 2 s ² ...
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