Correction du D M Ch 10 : Lois de probabilité

Exercice 1 (5,5 points) Voyager sans billet – Sujet Bac S : Nelle Calédonie 2005
Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles des billets afin de limiter l’impact des fraudes.
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois, soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.
Le prix de chaque trajet est de 10 euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude.
Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i-ième trajet et la valeur 0 sinon.
Soit X la variable aléatoire définie par : X = X1 + X2 + X3 + … + X40. 1) Déterminer la loi de probabilité de X.(0,5 pt)
La variable aléatoire X correspond au nombre de fois que Claude est contrôlé au cours des 40 trajets. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}
X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p.
Pour tout nombre entier k[pic]{0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}, on a :
P(X=k) = [pic][pic] p k [pic] (1 – p) 40 – k 2) Dans cette partie on suppose que p = [pic] . a) Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 pt)
Comme X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p = [pic], E(X) = 40[pic][pic]= 2. b) Calculer les probabilités : P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2). (0,75 pt)
P(X=0) = [pic][pic] ([pic])0 [pic] ([pic]) 40 = ([pic]) 40 [pic]0,1285
P(X=1) = [pic][pic] ([pic])1 [pic] ([pic]) 39 = 40[pic][pic][pic]([pic]) 39 [pic]0,2706
P(X=2) = [pic][pic] ([pic])2 [pic] ([pic]) 38 =[pic][pic]([pic])2[pic]([pic]) 38 [pic]0,2777 c) Calculer à 10 – 4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois. (0,5 pt)
Cela revient à chercher la probabilité P( (X = 0)[pic](X = 1)[pic](X = 2) ).
Or les