Probabilité
Contrôle Continu n°1
Corrigé
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité; xi 1

2

3

4

5

6

P(X=xi)

0,10

0,20

0,10

0,30

0,10

0,20

1) Calculer l'espérance et la variance de X.

Réponse :
Pour p=0.25 on a : xi 4

𝐸(𝑥) = � 𝑥 𝑖 𝑝 𝑖

1

2

3

4

P(X=xi)

0.25

0.25

0.25

0.25

𝑖=1

𝐸(𝑥) = 1 × 0.25 + 2 × 0.25 + 3 × 0.25 + 4 × 0.25

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑬(𝒙) = 𝟐. 𝟓

6

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = � 𝑝 𝑖 [𝑥 𝑖 − 𝐸(𝑥)]2
𝑖=1

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.25(1 − 2.5)2 + 0.25(2 − 2.5)2 + 0.25(3 − 2.5)2 + 0.25(4 − 2.5)2

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝟐. 𝟔𝟏

Exercice 2

Présentation des classes, des proportions de clients par classe et la probabilité d’avoir un accident pour chaque classe :
C1
Bas

C2
Moyen

C3
Haut

C4
Très Haut

Proportion des clients 30%

20%

40%

10%

Probabilité d’avoir
1 accident

0.03

0.05

0.17

0.35

Un nouvel assuré rentre dans le portefeuille, mais son type est inconnu. On suppose que la répartition des classes et les probabilités correspondantes restent les mêmes pour les cinq années à venir. On suppose aussi que des événements concernant des années différentes sont indépendants.

Partie A

1) Quelle est la probabilité pour que le nouvel assuré ait un accident dans la première année?

Réponse :
Soit l’évènement A : Avoir un accident
0.03
0.97
0.05
0.95
0.17
0.83
0.35
0.65
6

𝑃(𝐴) = � 𝑃( 𝐶 𝑖 ) × 𝑃 � 𝐴� 𝐶 �
𝑖=1

𝑖

𝑃(𝐴) = 30% × 0.03 + 20% × 0.05 + 40% × 0.17 + 10% × 0.35

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑷(𝑨) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐

2) A la fin de la première année, le client a déclaré zéro accident. Quelles sont les probabilités d'appartenir aux classes C1, C2, C3 et C4?

Réponse :

Dans cette question on a à calculer la probabilité d’appartenir à une classe sachant que 𝐴̅ se réalise
( Aucun accident n’est déclaré ). On applique ainsi le théorème de Bayes :
𝐶
𝑃 � 1�� � =
𝐴

�
𝑃 � 𝐴� 𝐶