Premi` re S2 e

Ann´ e 2009/10 e

Devoir Surveillé n◦ 2 Jeudi 15 Octobre 2009 (2heures)

Exercice 1
Résoudre les équations suivantes, en faisant attention aux problèmes de définition. x 3x + 28 − x2 = 0 y −10 x2 + 5x + 15 = 0 z 3x2 − 1 = 6x √ √ { x + 15 = x2 + 2x − 15

Exercice 2
Soit P(x) = x3 − 7x2 + 2x + 40 un polynôme de degré trois. 1. Calculer P(4). 2. Déterminer un polynôme Q tel que l’on ait P(x) = (x − 4) Q(x) pour tout x ∈ 3. Calculer les racines de Q. En déduire sa factorisation. 4. Factoriser P, puis étudier son signe sur

R.

R (on dressera un tableau de signe).

Exercice 3
On considère l’inéquation (I) : x+2 x+1 5x.

1. Quel est son ensemble de définition ? On le notera DI . 2. Montrer que sur DI , on a (I) ⇐⇒ −5x2 − 4x + 2 x+1 0.

3. Déterminer les racines du trinôme R(x) = −5x2 − 4x + 2, puis donner sa factorisation. 4. À l’aide d’un tableau de signe, résoudre alors l’inéquation (I).

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Problème
On s’intéresse à la production de cornichons au sein d’un kolkhoze. Le volume de la récolte annuelle va influencer le cours du cornichon. Partie A – Étude de la recette Soit x la quantité de cornichons récoltés, exprimée en millions de tonnes. La recette annuelle, exprimée en milliards de roubles, est alors donnée par R(x) = −0, 5x2 + 10x 1. Étudier le signe de R(x) sur . En déduire que ce modèle n’a de sens que lorsque x appartient à un certain intervalle I, que l’on précisera. 2. Pour quelle(s) quantité(s) de cornichons a-t-on une recette de 18 milliards de roubles ? De 60 milliards de roubles ? Partie B - Étude du Bénéfice L’ensemble des coûts engendrés par la production et la récolte des cornichons est C(x) = x + 28 (toujours en milliards de roubles). Le bénéfice net réalisé par le kolkhoze est alors B(x) = R(x) − C(x) 1. Pour quelle(s) quantité(s) a-t-on un bénéfice nul ? 2. Dans quel intervalle doit se situer x pour le bénéfice réalisé soit positif ? 3. Déterminer le bénéfice maximal Bmax . Pour