Université Paris Diderot

MM1  Année 2010/11

Série d'exercices no 1 Nombres complexes  Forme algébrique

Exercice 1 1. Trouver deux nombres dont la somme vaut 3 et le produit 2.
2. Trouver deux nombres dont la somme vaut 2 et le produit 3.

Exercice 2 Mettre sous la forme a + bi (a, b ∈ R) les nombres complexes suivants :
• (5 + 2i) + (1 − 7i) • (3 − 4i) − (2 − 5i) • (3 − 2i)(−4 + i) • (1 + i)2 − 2i • 1 3 + 2i 5 2+i

• (2 + i) + •

1 + 2i 3 − 4i 1 + 2i 1 − 2i • + · 3 − 4i 3 + 4i z + 2i uniquement en fonction de z . 3z − 4i

Exercice 3 1. Exprimer pour tout z ∈ C le conjugué de
2. En déduire la relation :

z + 2i z − 2i z + 2i + = 2 Re · 3z − 4i 3z + 4i 3z − 4i puis, avec le moins de calculs possible, la valeur de la dernière expression de l'exercice précédent.

Exercice 4 Démontrer l'identité du parallélogramme, i.e. pour tous nombres complexes z , z :
|z + z |2 + |z − z |2 = 2 |z |2 + 2 |z |2 .

Exercice 5 1. Établir pour tout z ∈ C les inégalités :
• |3z + 1| • |2z − 5| 3|z| + 1 2|z| + 5 • |3z + 4(z−1)| • |3z + 4i(z−1)| 7|z| + 4 5|z| + 4 .

2. Montrer que ces inégalités sont optimales. Autrement dit trouver pour chacune d'entre elles un nombre complexe z tel que l'égalité est réalisée.

Exercice 6 1. Déterminer les nombres complexes z tels que z 2 = −1 (autrement dit tous les nombres complexes et rien que les nombres complexes z tels que z 2 = −1). 2. Déterminer les nombres complexes z tels que z 2 = c dans les cas suivants :

c = −3,

c = −3 − 4i,

c = 1 + i,

c = 1 − i.

Exercice 7 Résoudre dans C les équations :
• 2z 2 + 3z − 2 = 0 • z 2 + 3 + 4i = 0 • z 2 + (2 + i)z + i = 0 • 2z 2 + iz + 1 = 0 • (1 + i)z 2 + (2 − i)z − 9/4 = 0 • z 2 + z + 2i(z + 1) = 0 .

Exercice 8 ∗ 1. Résoudre dans C l'équation z 3 −15z −30 = 0 par la méthode de Tartaglia-Cardan, c'est-à-dire en posant z = u + v , d'où u3 + v 3 + (3uv − 15)(u + v) − 30 = 0, puis en supposant uv = 5. 2. Résoudre dans C et selon la même méthode l'équation z 3