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La puissance nième d’une matrice 2X2
La puissance nième d’une matrice (détails) ........................................................ 34 Le théorème de CALEY-HAMILTON (pour les matrices 2x2)......................... 35 Algorithme de calcul de la puissance nième ....................................................... 36 Suite numérique associée à la puissance nième .................................................. 37 La puissance nième d’une matrice (propriétés) .................................................. 38 Solution de l’exercice 17..................................................................................... 39 Solution de l’exercice 18..................................................................................... 40 Solution de l’exercice 19..................................................................................... 41 Solution de l’exercice 20..................................................................................... 42

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La puissance nième d’une matrice (détails)
Rappel (raisonnement par récurrence) Pour n ∈ N Pn est une propriété qui peut être vraie ou fausse. Si P0 est vraie et si lorsque Pn est vraie alors Pn +1est encore vraie, Pn est vraie pour tout entier n. Pour vérifier que Pn est vraie pour tout entier n on vérifie que : 1) P0 est vraie 2) si Pn est vraie (hypothèse de récurrence) alors Pn +1 est encore vraie. Définition par récurrence de la puissance nième d’une matrice Si A est une matrice 2 × 2 , A n est définie par récurrence :
P n est la propriété « A n est définie ». 1 0  A n est définie pour n = 0 : A 0 = I =   0 1 .    Si A n est définie alors A n +1 est défini par :

A n +1 = A n × A En particulier A1 = A puisque A1 = A 0 × A = I × A = A. Propriété évidente n +1 = A n × A = A × A n . Pour tout entier n ∈ N : A

Preuve par récurrence
1) La propriété est vraie pour n = 0: A1 = A 0 × A = A × A 0 puisque A1 = A et A 0 = I . 2) Si A n × A = A × A n est vraie alors A n +1 × A = A × A n +1