Intégrales et sommes célèbres

Pages: 2 (310 mots) Publié le: 9 août 2013
Sommes et intégrales célèbres
n

Somme arithmétique.
k=1 n

k=

n(n + 1) 2 1 − q n+1 (si q = 1). 1−q

Somme géométrique.
k=1

qk = qk =

Si|q| < 1 alors :

∞ k=1

1 . 1−q

n

Somme des coefficients binomiaux.
k=0

n = 2n k
n

Somme alternée des coeff. binomiaux.

(−1)k
k=0

n = 0 (où n∈ N∗ ). k

Somme des inverses des nombres premiers. Somme des inverses. 1 = +∞. k=1 k
∞ ∞

1 = +∞. p∈P p

(−1)k+1 = ln(2). k k=1 ∞ 1 π2 Somme desinverses des carrés. = . 2 6 k=1 k ∞ π4 1 = . Somme des inverses des bicarrés. 4 90 k=1 k Somme alternée des inverses. La fonction de Riemannest : ζ(p) =
1 ∞ k=1 kp

(si p > 1).

Somme des inverses des factorielles. Si z ∈ C, on a plus généralement

1 = e. k=0 k! = ez .




∞ zkk=0 k!

α>1 dx  Intégrales de Bertrand. < +∞ ssi  ou 2 xα lnβ (x) α = 1 et β > 1  α<1 1 dx 2  Intégrales de Bertrand (bis). < +∞ ssi  ou β 0xα | ln (x)| α = 1 et β > 1
+∞ +∞

Intégrale de Dirichlet.
0

sin(x) π dx = x 2 1

Sommes et intégrales célèbres
π 2

Intégrale de Dirichlet(bis).
0

ln(sin(x))dx = −π
1

ln(2) 2

Intégrales d’Euler (1ère espèce). B(x, y) =
0 1

tx−1 (1 − t)y−1 dt

Intégrales d’Euler (2ème espèce).Γ(z) =
0 +∞ +∞ 0

tz−1 e−t dt √ π 4

Intégrales de Fresnel.
0 +∞

cos(x )dx = √ exp(−x )dx =
2

2

sin(x )dx = π 2

2

Intégrale de Gauss.
0 1Intégrale de Raabe.
0

ln(Γ(x))dx =
π 2

ln(2π) 2
π 2

 

Intégrales de Wallis.
0

cos (x)dx =
0

n

sin (x)dx

n

n→+∞



π 2n

2

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