Int Gration Changement De Variables
1642 mots
7 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014Enoncés
Changement de variables
Exercice 6 [ 01985 ] [correction]
a) Montrer que
Exercice 1 [ 01982 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable adéquat :
√
a)
dt
√
t + t3
ln tdt t + t(ln t)2
b)
1
e2t dt et + 1
c)
π/2
0
[ 00290 ]
[correction]
sin t π dt = cos t + sin t
4
0
b) En déduire
1
√
0
Exercice 2
Déterminer
π/2
cos t dt = cos t + sin t
dt
1 − t2 + t
Exercice 7 [ 01986 ] [correction]
Soit f : [a, b] → R continue telle que
dt
√
t t2 − 1
∀x ∈ [a, b] , f (a + b − x) = f (x)
Montrer que
Exercice 3 [ 01983 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat :
b
xf (x) dx = a e
a)
1
e
dt t + t(ln t)2
1
dt t ln t + 1
√
b)
1
c)
et
0
dt
+1
1
1
1 − t2 dt
2
t2
b)
1 − t2 dt
0
0
c)
1
ln t
√ dt t π
tf (sin t) dt =
0
π
0
[ 01984 ]
π
2
π
f (sin t) dt
0
b) En déduire la valeur de
In =
Exercice 5
a) Observer
f (x) dx a Exercice 8 [ 00188 ] [correction]
a) Soit f ∈ C ([0, 1] , R). Etablir
Exercice 4 [ 00260 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat
a)
b
a+b
2
x sin2n (x) dx sin (x) + cos2n (x)
2n
[correction] π/4 π/4
ln(cos t) dt =
0
ln cos
0
π
− t dt
4
Exercice 9 [ 03337 ] [correction]
a) Etudier les variations de la fonction x → 3x2 − 2x3 .
b) Soit f : [0, 1] → R continue. Montrer
b) En déduire f (3x2 − 2x3 ) dx = 2
ln(1 + tan t) dt
0
1
3/2
π/4
−1/2
f (3x2 − 2x3 ) dx
0
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
2
Exercice 10 [ 03193 ] [correction]
Pour a et b des réels tels que ab > 0, on considère b I(a, b) = a 1 − x2
√
dx
(1 + x2 ) 1 + x4
a) Calculer I(−b, −a), I(1/a, 1/b) et I (1/a, a) en fonction I(a, b).
b) Pour a, b > 1, calculer I(a, b) via changement de variables v = x + 1/x puis v = 1/t.
c) Montrer que la relation