integrales
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Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞a)
0
∞
d)
√
∞
dx
(1 + ex )(1 + e−x )
e−
√
b)
1
x
x
dx
c)
0
ln x dx
0
1
ln x dx x2
∞
ln x dx (1 + x)2
e)
f)
0
1
∞
g)
π/2
dx
(a > 0, r > 0) x(x + r)
h) a 0
(n ∈ N)
0
∞
arctan x dx 1 + x2
xn e−x dx
cos 2xdx
√
sin 2x
i)
0
2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e ∞
a)
π/2
√
1
2
√ e− x +x+1 dx x ln(1 + sin x) dx
b)
0
∞
c)
−t2
e
∞
dt
d)
0
−π/2
0
1 + sin t
√ dt .
1 + t3
3. D´terminer pour quelles valeurs du couple (α, β) ∈ R2 les int´grales suivantes sont convere e gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y a convergence).
∞
a)
dx xα (1 + xβ )
∞
b)
0
ln(1 + xα ) dx xβ
∞
c)
0
(1 + t)α − tα dt . tβ 0
∞
4. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’int´grale I(n) = e ln x dx converge et calculer I(n) xn 1
dans ce cas.
∞
5. Soit I(λ) =
dx
(1 +
x2 )(1
+ xλ )
. Montrer que I(λ) converge pour tout r´el λ et calculer e 0
cette int´grale en utilisant le changement de variable t = 1/x. e ∞
6. Soit I =
e−t − e−2t dt. t
0
a) Montrer que I est convergente.
∞
b) Pour ε > 0, ´tablir, en posant x = 2t, la relation e ε
c) En d´duire la valeur de I. e π/2
7. Soit J =
ln sin x dx.
0
1
2ε
e−t − e−2t dt = t ε
e−t dt . t π/2
a) Montrer que J est convergente et que l’on a J =
ln cos x dx.
0
π/2
b) Montrer que 2J =
ln
sin 2x dx, et en d´duire la valeur de J. e 2
0
8. Montrer que les int´grales suivantes sont semi-convergentes : e ∞
a) π cos x
√ dx x ∞
b)
2
∞
2
cos(x ) dx (poser u = x ) c)
x2 sin(x4 ) dx .
π
−1
∞
9. Soit f une fonction de R