D´eriv´ees des fonctions usuelles
Fonction

D´eriv´ee

k ∈ IR (constante)

0

x

1

xn , n ∈ IN, n = 0

nxn−1

1 x 1 xn √ x 1 x2 1
−n n+1 x 1
√
2 x

sin(x)

cos(x)

cos(x)

− sin(x)

Ensemble de d´erivabilit´e IR

IR

IR∗

IR∗

IR+ = [0; +∞[

IR∗+ =]0; +∞[

IR

IR

−

sin(x) cos(x) tan(x) =

Ensemble de d´efinition 1 + tan2 (x) =

ex

1 cos2 (x)

ex
1
x

ln(x)

IR \

π
+ kπ; k ∈ ZZ
2
IR
IR∗+ =]0; +∞[

IR \

π
+ kπ; k ∈ ZZ
2
IR
IR∗+ =]0; +∞[

Op´erations sur les d´eriv´ees u et v d´esignent deux fonctions quelconques, d´efinies respectivement sur Du et Dv , d´erivables sur Du′ et Dv′ .
On note de plus Dv∗ = {x ∈ Dv , tel que, v(x) = 0}.

Y. Morel

Fonction

D´eriv´ee

Ensemble de d´efinition Ensemble de d´erivabilit´e ku, k ∈ IR

ku′

Du ∩ Dv

Du′ ∩ Dv′

u+v

u′ + v ′

Du ∩ Dv

Du′ ∩ Dv′

uv

u′ v + uv ′

Du ∩ Dv

Du′ ∩ Dv′

u v u′ v − uv ′ v2 Du ∩ Dv∗

Du′ ∩ Dv∗

u ◦ v ; u(v(x))

v ′ × u′ ◦ v ; v ′ (x) × u′ (v(x))

D´eriv´ees des fonctions usuelles et op´erations sur les d´eriv´ees
T ale S

′

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Op´erations usuelles u est une fonction quelconque d´efinie et d´erivable sur un intervalle I (et ne s’annulant pas sur I pour les quotients, racines carr´ees et logarithmes).

Fonction

D´eriv´ee

un , n ∈ ZZ, n = 0

nu′ un−1

1
, n ∈ ZZ, n = 0 un √ u nu′ un+1 u′
√
2 u
′
u cos(u)
−

sin(u) cos(u) sin(u) tan(u) = cos(u) eu ln(u) Y. Morel

−u′ sin(u)

u′ u 1 + tan (u) = cos2 (u)
′ u ue u′ u ′

2

D´eriv´ees des fonctions usuelles et op´erations sur les d´eriv´ees
T ale S

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