Exercice 1 : (7,5pt)
Partie 1 : « Restitution des connaissances »
Dans un triangle MAB où I est le milieu de [AB], démontrer le théorème de la médiane : MA2 + MB2 = 2 MI2 + AB² (0,5pt)
Partie2
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [IC].
Pour tout M du plan, on pose : h ( M ) = MA2 + MB2 + 2 MC2.
Soit ( E ) l'ensemble des points M du plan tels que : h ( M ) = 66.
On se propose de déterminer la nature de l'ensemble ( E ) de deux façons.

Les parties A et B sont indépendantes

A. Méthode géométrique 1. Exprimer MA2 + MB2 en fonction de MI2.(0,5pt) 2. Calculer IC en déduire MI² + MC² en fonction de MJ².(0,5pt) 3. Démontrer que : M ( E ) MJ2 = .(0 ,5pt) 4. En déduire que ( E ) est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. (0,5pt)

B. Méthode analytique
On pose \d\ba3());i) = );AB) et \d\ba3());j) = );AC). On considère le repère (A; \d\ba3());i); \d\ba3());j)).

1. Justifier que (A; \d\ba3());i); \d\ba3());j)) est un repère orthonormé du plan.(0,5pt) Déterminer les coordonnées des points A, B , C, I et J dans ce repère.(1pt pour I et J) 2. Pour tout point M ( x ; y ), montrer que : h ( M ) = 4 x2 + 4 y2 – 8 x – 12 y + 34.(O,5pt) 3. Retrouver la nature de ( E )(1pt)

C. Construction de ( E ). 1. Prouver que B est un point de ( E ). (0,5pt) 2. Déterminer une équation de la tangente TB au cercle (E) en B dans le repère (A; \d\ba3());i); \d\ba3());j)). 3. Construire ( E ) et TB.(1 pt question 2 et 0,5pt question3)

Exercice 2 (3pt)
1° Démontrer que : a/ cos x + sin x = sin ( x + ) (0,5pt) b/ cos x – sin x = cos ( x + ).(0,5pt)
2° a. Résoudre dans , l’équation : sin ( x + ) = .(0,5pt) b. En déduire, dans ] – ( ; ( ], les solutions de : sin x + cos x = ;2)).(0,5pt) 3° Déduire de la question 1° la valeur exacte de: + sin ; cos - sin )) .(1pt)