Intégrale à paramètre
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Intégrale à paramètre Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre.
Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de F(x) pour chaque x. Pour pouvoir étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée.
Continuité d'une intégrale à paramètre
Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est continue sur I. Alors la fonction F définie sur I par est continue sur I. | Le théorème précédent est énoncé dans un cadre peu général. On peut remplacer continue par morceaux par mesurable, remplacer la mesure de Lebesgue par toute autre mesure positive.... Il est en revanche important de noter que la fonction notée g qui majore ne dépend pas de x. On a besoin d'une telle fonction car ce théorème est une conséquence facile du théorème de convergence dominée.
Dérivabilité d'une intégrale à paramètre
Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Pour tout x de I, la fonction est intégrable. 2. Pour tout t de J, la fonction est dérivable, sa dérivée étant notée . 3. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a Alors la fonction F définie sur I par est dérivable sur I, et on a |
Holomorphie d'une intégrale à paramètre
Théorème : Soit un espace mesuré, U un ouvert de C, et f:U×T->C. On suppose que f