Inégalités

0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques. Pierre-Jean Hormière ____________

« Le Calcul infinitésimal (…) est l’apprentissage du maniement des inégalités bien plus que des égalités, et on pourrait le résumer en ces trois mots : MAJORER, MINORER, ENCADRER. » Jean Dieudonné Le cœur de cette note est formé des inégalités de la moyenne et des inégalités de convexité. Les inégalités vont souvent par deux : une version « discrète » (sommes finies ou séries) et une version intégrale. Mais on pourrait aussi bien les grouper par thèmes, selon leurs applications en algèbre, analyse ou géométrie.

0. Techniques élémentaires.

Rappelons quelques techniques simples de majoration et de minoration :
 Montrer que (x) f(x)  g(x), lorsque x est réel, revient à étudier le signe de g(x)  f(x) ; pour cela, il suffit parfois de le factoriser, ou d’étudier ses variations.
 Pour majorer ou minorer une fonction de deux variables (ou plus), on peut utiliser le théorème d’associativité des bornes supérieures ou inférieures : sup f(x, y) = supx supy f(x, y). On peut aussi utiliser des techniques plus sophistiquées, combinant compacité et différentiabilité (cf chap. ad hoc).
 Si a1, a2, …, an sont n nombres réels, n.min(ak)  a1 + a2 + … + an  n.max(ak).
De même, si x[a, b] m  f(x)  M, on a m.(b  a)   M.(b  a).
(on suppose f