L1 droit

Pages: 20 (4947 mots) Publié le: 6 décembre 2012
Universit´ de Toulouse 1 e

Ann´e 2011-2012 e

Math´matiques (Rappels) e
Licence Eco. Gestion et Droit, L1
(M. Latourelle, C. Lobert et A. Sourisse)

Note de cours no 1

Septi`me partie e

D´veloppement limit´ e e
Au voisinage d’un point a, une fonction f suffisamment r´guli`re peut ˆtre d´compos´e comme la somme d’une fonce e e e e tion polynˆme et d’un terme de reste (ou encoreerreur d’apo proximation) : il s’agit d’un d´veloppement limit´ de la fonce e tion f en a. Les d´veloppements limit´s polynomiaux peuvent e e ˆtre utiles pour ´tudier localement des fonctions et ´tudier e e e plus rapidement certaines limites.

Rem. 1) La g´n´ralisation de la proposition pr´c´dente est e e e e fausse : f peut admettre un DLn (0) pour n ≥ 2, sans ˆtre n e fois d´rivable sur I. e 2)Nous verrons dans la suite que si f est de classe C n sur I, alors f admet un DLn (0), construit ` partir des d´riv´es a e e successives de f en 0, jusqu’` l’ordre n. a

34

Formule de cons´quences e

Taylor-Young

et

33

D´veloppement e fonction

limit´ e

d’une

Pour une certaine classe de fonctions, on connaˆ un moyen ıt pratique de d´terminer un DLn (a) : on utilise leth´or`me de e e e Taylor-Young. Th´o 34.1. Th´or`me de Taylor-Young e e e Soit n ∈ N, I un intervalle de R, a un ´l´ment de I priv´ ee e de ses bornes, f : I → R. Si f est de classe C n−1 sur I et admet une d´riv´e d’ordre n en a, alors f admet le DLn (a) e e suivant :
n

D´f 33.1. Soit I un intervalle de R et a un ´l´ment de I e ee priv´ de ses bornes. Soit f : I → R et n ∈ N. e On dit que f admet und´veloppement limit´ ` l’ordre e ea n en a (not´ DLn (a)) si et seulement si il existe une fonce tion polynˆme Pn et une fonction tels que : o   deg(Pn ) ≤ n lim (x) = 0  x→a ∀x ∈ I, f (x) = Pn (x − a) + (x − a)n (x) On appelle partie principale ou partie r´guli`re du e e DLn (a) de f la fonction polynˆme x → Pn (x − a). On apo pelle le terme de reste la fonction x → (x − a)n (x).

∀x ∈ I, f(x) =
k=0

f (k) (x − a) (x − a)k + (x − a)n (x − a) k!

ou encore ∀x ∈ I, (a) f (x) = f (a)+ f 1! (x−a)+ f n +(x − a) (x − a) Avec lim (x − a) = 0.
x→a

(a) f (n) (a) 2 n 2! (x−a) +· · ·+ n! (x−a)

Rem : Seule la partie principale du DLn (a) sera int´ressante Rem : Ce th´or`me et l’unicit´ du DL (a) donnent un moyen e e e e n en pratique pour le calcul de limite, mais le terme de restepratique de calculer les d´riv´es successives d’une fonction en e e permet de valider le DLn (a), et si la propri´t´ lim (x) = 0 a, si l’on en connait un d´veloppement limit´. ee e e x→a n’est pas v´rifi´e, on ne pourra en aucun cas utiliser le DLn (a). e e Application de la formule ` l’ordre 3 : a 2 3 Exemples : f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + f (a) (x−a) + f (3) (a) (x−a) + 1. f admet un DL3 (0)ssi il existe des r´els a, b, c et d tels e que : ∀x ∈ I, f (x) = a + bx + cx2 + dx3 + x3 (x) Avec lim (x) = 0
x→0

(x − a)3 (x − a)

2

6

2. On a ∀x ∈ R, ex = 1 + x + x (x), avec lim (x) = 0.
x→0

Prop 33.2. unicit´ de la partie r´guli`re e e e Soit I un intervalle de R et a un ´l´ment de I priv´ de ses ee e bornes. Soit f : I → R et n ∈ N, f admettant un DLn (a). Alors la partier´guli`re du DLn (a) de f est unique. e e

Ex. Application aux fonctions usuelles : Pour obtenir le DLn (a) d’une fonction f , il suffit de d´terminer le DLn (0) de la fonction g : t → f (t + a), ou e encore d’appliquer directement la formule de Taylor-Young. Dans la suite, on va indiquer les DLn (0) de quelques fonctions usuelles, les fonctions ´tant diff´rentes dans e e chacun des cas. Cesd´veloppements limit´s sont ` e e a connaˆ ıtre au moins ` l’ordre n = 2 . a ex = 1 = 1−x 1 = 1 √+ x 1+x= ln(x + 1) =

Prop 33.3. 1) f admet un DL0 (a) ssi f continue en a. 2) f admet un DL1 (a) ssi f d´rivable en a. e Preuve Exo 49. D´terminer un DL5 (1) de la fonction exponentielle. e

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