Universit´ de Toulouse 1 e

Ann´e 2011-2012 e

Math´matiques (Rappels) e
Licence Eco. Gestion et Droit, L1
(M. Latourelle, C. Lobert et A. Sourisse)

Note de cours no 1

Septi`me partie e

D´veloppement limit´ e e
Au voisinage d’un point a, une fonction f suffisamment r´guli`re peut ˆtre d´compos´e comme la somme d’une fonce e e e e tion polynˆme et d’un terme de reste (ou encore erreur d’apo proximation) : il s’agit d’un d´veloppement limit´ de la fonce e tion f en a. Les d´veloppements limit´s polynomiaux peuvent e e ˆtre utiles pour ´tudier localement des fonctions et ´tudier e e e plus rapidement certaines limites.

Rem. 1) La g´n´ralisation de la proposition pr´c´dente est e e e e fausse : f peut admettre un DLn (0) pour n ≥ 2, sans ˆtre n e fois d´rivable sur I. e 2) Nous verrons dans la suite que si f est de classe C n sur I, alors f admet un DLn (0), construit ` partir des d´riv´es a e e successives de f en 0, jusqu’` l’ordre n. a

34

Formule de cons´quences e

Taylor-Young

et

33

D´veloppement e fonction

limit´ e

d’une

Pour une certaine classe de fonctions, on connaˆ un moyen ıt pratique de d´terminer un DLn (a) : on utilise le th´or`me de e e e Taylor-Young. Th´o 34.1. Th´or`me de Taylor-Young e e e Soit n ∈ N, I un intervalle de R, a un ´l´ment de I priv´ ee e de ses bornes, f : I → R. Si f est de classe C n−1 sur I et admet une d´riv´e d’ordre n en a, alors f admet le DLn (a) e e suivant : n D´f 33.1. Soit I un intervalle de R et a un ´l´ment de I e ee priv´ de ses bornes. Soit f : I → R et n ∈ N. e On dit que f admet un d´veloppement limit´ ` l’ordre e ea n en a (not´ DLn (a)) si et seulement si il existe une fonce tion polynˆme Pn et une fonction tels que : o   deg(Pn ) ≤ n lim (x) = 0  x→a ∀x ∈ I, f (x) = Pn (x − a) + (x − a)n (x) On appelle partie principale ou partie r´guli`re du e e DLn (a) de f la fonction polynˆme x → Pn (x − a). On apo pelle le terme de reste la fonction x → (x − a)n (x).

∀x ∈ I, f