la méthode du simplexe

Pages: 5 (1219 mots) Publié le: 2 juillet 2014
IdC 2A

Jeudi 16 octobre

La méthode du simplexe sur un exemple.
1

Mise en place du cadre.

On étudie le programme linéaire suivant écrit sous forme canonique :
max z = 5x + y

 x


 30x + y

y
sous contraintes

 x



y

Dénition 1.1 On appelle variable

d'écart la quantité
mer une contrainte d'inégalité en contrainte d'égalité.


4
≤ 150
≤ 60

0≥
0
positive

qui permet de transfor-

Ici, on a trois contraintes donc on ajoute trois variables d'écart x3 , x4 , x5 .
max z = 5x1 + x2

+
x3
 x1


30x1 + x2 +
x4
sous contraintes
x2 +
x5



x1 , x2 , x3 , x4 , x5

= 4
= 150
= 60

0

L'écriture matricielle est la suivante :


1
30
0

2

 
x1
 
0 1 0 0 x2 
4
 
1 0 1 0 x3  = 150 
1 0 0 1 x4 
60
x5


Base, solution de base, solution de base réalisable

Dénition 2.1 On dit que (xi

, xi2 , . . . , xim ) est une base si la sous-matrice construite sur
1
les colonnes (i1 , i2 , . . . , im ) est inversible.
On dit alors que les m variables (xi1 , xi2 , . . . , xim ) sont les variables de base et que les
n variables restantes sont les variables hors base.Ici, m = 3 et il y a 5 variables au total. Un base aura donc 3 variables et il y aura
systématiquement 2 variables hors base. Donnons quelques exemples :



0
0
1

0
1. La famille {x2 , x4 , x5 } ne forme pas une base car la sous matrice associée 1
1

0
1
0


0 1
2. La famille {x2 , x3 , x5 } forme une base car la sous matrice associée 1 0
1 0
inversible. Ici, {x1 ,x4 } sont hors base.

1 0
3. La famille {x1 , x2 , x3 } forme une base car la sous matrice associée 30 1
0 1
inversible. Ici, {x4 , x5 } sont hors base.


0
0 est
1

n'est pas inversible.

1


1
0 est
0

Dénition 2.2

1. On appelle solution de base une solution du système Ax = b où les
n variables hors bases sont nulles et les valeurs des m variables de base sontsolution
du système Bx∗ = b où les x∗ est le vecteur m × 1 contenant les variables de base.

2. On appelle solution de base réalisable une solution de base qui vérie les contraintes
de positivité, c.à.d dont toutes les composantes sont positives ou nulles.

Voyons ce que cela donne sur les exemples précédents.
1. Considérons la base {x2 , x3 , x5 }.
La solution de base correspondante est (0,150, 4, 0, −90). Ce n'est donc pas une solution
de base réalisable (x5 = −90 < 0).
2. Considérons la base {x1 , x2 , x3 }.
La solution de base correspondante est (3, 60, 1, 0, 0) et c'est une solution de base
réalisable.

Remarque 2.3

(Importante) Lorsque les coecients bi sont positifs ou nuls, on obtient
systématiquement une solution de base réalisable en mettant les variables duproblème initial
hors base (donc nulles) et les variables d'écart dans la base et égales aux bi .

D'après la remarque ??, la base {x3 , x4 , x5 } donne la solution de base réalisable suivante :
{x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } = {0, 0, 4, 150, 60}

Dénition 2.4 Lorsqu'un problème écrit sous forme standard vérie en plus les deux propriétés suivantes :
1. Les coecients de la fonction objectifassociés aux variables de base sont nuls,
2. La matrice associée aux variables de base est la matrice identité (à une permutation
près),
on dit qu'il est écrit sous forme canonique par rapport à la base B correspondante.

Ici par exemple, le programme suivant est écrit sous forme canonique par rapport à la
base {x3 , x4 , x5 }.
max z = 5x1 + x2

+
x3
 x1


30x1 + x2 +
x4
souscontraintes
x2 +
x5



x1 , x2 , x3 , x4 , x5

= 4
= 150
= 60

0

Cette écriture est le point de départ de l'algorithme du simplexe.
3
3.1

Les étapes du simplexe.
Point de départ

Dans le cas des bi ≥ 0, il s'agit d'écrire le programme linéaire sous forme canonique par
rapport à la base réalisable donnée par la remarque ??.
Ici, il s'agit du programme donné ci-dessus, écrit...
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