Les équations récurentes linéaires et non linéaires

Pages: 18 (4348 mots) Publié le: 19 novembre 2012
Chapitre 1 : Les équations récurrentes linéaires et non linéaires dans

Sommaire
Sandrine CHARLES

 
1
  Introduction................................................................................................................................... 3
  2
  L’approximation d’Euler............................................................................................................ 4
  3
  Définitions ...................................................................................................................................... 6
  4
  Étude
 des
 équations
 récurrentes
 dans
  .......................................................................... 7
 

4.1
 Définitions................................................................................................................................................. 8
  4.2
  Le
 diagramme
 en
 escaliers ............................................................................................................. 11
  5
  Les
 équations
 récurrentes linéaires................................................................................... 12
  6
  Les
 équations
 récurrentes
 non
 linéaires .......................................................................... 17
  7
  Des
 modèles
 démographiques
 récurrents ....................................................................... 20
  7.1
  Généralités............................................................................................................................................. 20
  7.2
  Le
 modèle
 exponentiel...................................................................................................................... 21
  7.3
  Le
 modèle
 logistique
 discret .......................................................................................................... 23
  8
 Un
 exemple
 en
 médecine........................................................................................................ 32
  9
  Un
 autre
 exemple
 (corrigé
 manuscrit
 disponible)............................................................. 33
 

sandrine.charles@univ-lyon1.fr

Mise à jour du 5/11/10

4BIM-BPM

S. Charles (05/11/2010)........................................................................................................................................................................................................

Chapitre 1 : Les équations récurrentes linéaires et non linéaires dans

1 Introduction
Comme le souligne Alain Pavé dans l’annexe B de son ouvrage « Modélisation en Biologie et en Ecologie » (Pavé,1994), « les équations récurrentes sont des objets mathématiques d’une grande importance pratique (et même théorique) ». Mais, pour reprendre son expression, pourquoi parler d’équations récurrentes, alors que l’on a plutôt l’habitude d’entendre parler de suites, en particulier de suites récurrentes ? Ces objets mathématiques sont en fait strictement identiques, mais sont utilisés dans des contextestrès différents : on parle de suites pour des raisons théoriques (e.g., construction du corps des réels par les suites de Cauchy), alors qu’on utilise la terminologie des équations récurrentes (on dit encore équations aux différences ou encore modèles discrets) en modélisation. L’intérêt pratique des équations récurrentes ne fait pas de doute :  Dans la relation calcul formel / analyse numérique(e.g., schéma numérique d’Euler ou de Runge-Kutta), pour la résolution d’une équation à l’aide d’une suite, avec la recherche de la valeur approchée de la solution.  En modélisation, pour décrire l’évolution de populations dont les générations ne se recouvrent pas, telle qu’une population de poissons (un épisode de reproduction annuel ou birth-pulse), une population d’insectes avec une...
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