les nombres decimaux

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Caractérisation[modifier | modifier le code]

Si a est un nombre réel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal :
1.a admet un développement décimal limité ;
2.il existe un entier relatif m et un entier naturel p tels que a = \frac{m}{10^p} ;
3.on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels ;
4.soit a possède deux développements décimaux distincts, soit a = 0.

Remarques[modifier | modifier le code]
La première assertion différencie 1,6666, qui est un nombre décimal, de 1,6666… qui n'en est pas un (ce dernier nombre qui s'écrirait avec une infinité de 6, peut s'écrire 5/3 sous forme de fraction).
La deuxième assertion nous dit qu'un nombre tel que \frac{765}{10^8} est un nombre décimal. (Elle peut difficilement être utilisée pour prouver qu'un nombre donné sous forme de fraction n'est pas décimal, parce que la fraction qu'on a mentionnée dans l'énoncé n'est pas nécessairement irréductible).
La troisième assertion donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 ou par 5.
La quatrième assertion confirme une propriété des nombres décimaux qui est parfois considérée comme une « curiosité » : le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999… (avec une infinité de 9). Autrement dit, le développement décimal des nombres décimaux n'est pas unique si on autorise les développements décimaux infinis. Pour plus de détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

Structure algébrique[modifier | modifier le code]
L'ensemble des décimaux est souvent noté \mathbb D.
L'ensemble des nombres décimaux muni des lois d'addition et de multiplication est noté (\mathbb D,+,\times). C'est un anneau intègre, qui

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