DÉRIVATION

I) NOMBRE DÉRIVÉ
Définition 1
On dit qu'une fonction ¦ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h Î I : ¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0 h®0 Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ¦ en a ; on le note ¦'(a).
Exemple :
La fonction ¦, définie sur , par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est-elle dérivable en a ?
Pour le savoir, calculons ¦(a + h) :
¦(a + h) = (a + h)2 + 3(a + h) – 4 = a2 + 2ah + h2 + 3a + 3h – 4 = a2 + 3a – 4 + (2a + 3)h + h´h
¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec A = 2a +3 et j(h) = h (et on a bien lim j(h) = 0). h®0 Conclusion : la fonction ¦ est dérivable pour tout réel a. Son nombre dérivé est A = 2a + 3.
Exercices : calculer (s'il existe) le nombre dérivé A de la fonction "carré", d'une fonction affine ¦(x) = mx + p et d'une fonction constante ¦(x) = k.

Le théorème suivant est un critère pour voir si une fonction est dérivable en a (car ce n'est pas toujours facile de le vérifier avec la définition)
Théorème 1
Une fonction ¦ est dérivable en a si et seulement si la limite suivante existe et est finie : lim h®0

¦ (a + h) - ¦(a ) h Sa valeur A est alors le nombre dérivé de ¦ en a.
¦( a + h) - ¦( a ) s'appelle l'accroissement moyen de ¦ entre a et a + h. h (Ou encore le "taux de variation" ou "taux d'accroissement", selon les ouvrages)

Vocabulaire : la quantité

Exemple : La fonction ¦ définie par ¦(x) = x3 – 7 est-elle dérivable en a = 2 ?
Pour le savoir, évaluons la limite de la quantité suivante :
¦(a + h) - ¦ (a) (2 + h)3 - 7 - 23 + 7 12h + 6h 2 + h3
=
=
= 12 + 6h + h2 h h h D'où :

lim

h®0

¦ (a + h) - ¦(a )
= 12 h On simplifie d'abord l'expression avant d'étudier sa limite.

Donc ¦ est dérivable en a = 2, son nombre dérivé en 2 est ¦'(2) = 12.

Exercice :
Montrer que la fonction racine carré (¦ : x a
Dérivation

x ) est dérivable en tout point de ]0 ; ¥[ mais pas en 0.

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