Logarithe neperien
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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENOn a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. La fonction "inverse", définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) =
1 , admet donc des primitives. Parmi ces primitives F, x
que nous ne sommes pas capables d'expliciter, une seule vérifie la condition F(1) = 0. C'est précisément cette fonction F qui s'appelle logarithme népérien. De cette définition se dégagerons progressivement diverses propriétés qui finiront par nous éclairer largement sur cette fonction logarithme.
I) Définition et conséquences
Définition On considère la fonction ƒ définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1 (restriction de la fonction "inverse" à x
]0 ; +∞[). La fonction logarithme népérien notée ln est la primitive F de ƒ telle que F(1) = 0 Conséquences immédiates :
• la fonction primitive est définie sur le même intervalle que la fonction considérée, donc la fonction ln est
définie sur ]0 ; +∞[
• ln(1) = 0 • la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et (ln x)' =
1 pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ x • la fonction ln est continue sur ]0 ; +∞[ puisque dérivable sur cet intervalle
• la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ puisque sa dérivée est strictement positive sur cet
intervalle, ce qui permet une première esquisse de son tableau de variations : x 0 signe de la dérivée 1 x 1 +
0 +∞
variation de la fonction ln
• ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonction ln :
ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ln x = 0 ⇔ x = 1 ln x > 0 ⇔ x > 1
• la fonction ln étant strictement croissante et continue, elle réalise une bijection de ]0 +∞[ sur l'intervalle
image (que nous préciserons ultérieurement). On en déduit que pour tous réels a et b de ]0 ; + ∞[, on a :
• ln a = ln b ⇔ a = b • ln a < ln b ⇔ a < b
En effet, si a = b alors il est clair que ln a = ln b. Pour la réciproque, voir l'annexe sur le raisonnement par contraposition et le raisonnement par l'absurde. De même,