Loi binomiale

655 mots 3 pages
Loi binomiale : révisions
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES
(de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S .
Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de
Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule rouge » de probabilité p = 3/10 = 0,3 et pour échec
S : « Tirer une boule bleue » de probabilité q = 7/10 = 0,7.
Loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est p.
Cette loi est définie par le tableau suivant : issue probabilité

S p S
1−p

Exemple : A l’épreuve de Bernoulli de l’exemple précédent est associée la loi de Bernoulli de paramètre p = 0,3. Elle est définie par le tableau suivant : issue probabilité

S
0,3

S
0,7

Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
S
Exemple :
Dans l’urne précédente, on tire au hasard une boule, puis on la replace dans l’urne avant d’en choisir une seconde.
On répète deux fois la même épreuve de Bernoulli.
Le fait de replacer la 1ère boule dans l’urne assure l’indépendance entre les deux tirages.
Ce schéma de Bernoulli peut être représenté par l’arbre pondéré ci-contre :

0,3

S
0,3

0,7

0,7

0,3

S
S

S
0,7

Loi binomiale
On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même paramètre p. On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de n épreuves le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).
L’espérance de X est E(X) = np ; la variance de X est V(X) = np (1 − p).

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