Lycée
Test pour l'entrée Durée

Louis-Le-Grand en classe préparatoire 4 heures MPSI de l'épreuve:
***

Les exercices ci-après sont indépendants les uns des autres, concernent différents thèmes et peunt être abordés dans un ordre quelconque. L'usage des calculatrices n'est pas autorisé.

1. Résoudrel'équation JX+1-

JX=T = 1.
, . 1 1 1 1 (a, b, c) d entiers naturels non nuls, tels que - = 2' + b2 + 2"' 4 a c

2. Déterminer

tous les triplets

3. Thouver le plus petit réel k > a tel que (a+b+c)2

:::;

k(a2+b2+c2) pour tout triplet (a, b, c) E ]R3.

4. Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer que soit Il + zl 2: 1, soit Il + z212: 1. 5. Un tournoi de ping-pong comporte 2n joueurs, n 2: 1. Pour la première ronde du tournoi on doit apparier les joueurs deux par deux, les n matchs étant joués simultanément. De combien de manières différentes est-il possible d'organiser cette première ronde?

6. Trouver tous les entiers naturels x, y vérifiant x + y = 56 et ppcm (x, y) = 105.
7. Soit A, B, C, D un tétraèdre régulier de côté 1. Quel est le rayon de la sphère circonscrite à ce tétraèdre?

8. a. Soit FF' PP' un quadrilatère convexedu plan. Montrer que F P' + F'P < Frp' + FP (la somme des longueurs des diagonales est strictement supérieure à la somme des longueurs de deux côtés opposés).
'

b. On place 2n points FI, ..., Fn, Pb ..., Pn dans le plan de manière à ce que trois quelconques des points ne soient pas alignés. Montrer qu'il est possible de relier chaque point Fk à l'un des points Pl, ..., Pn de manière à ,ce qùe les n segments ainsi tracés ne se è'ôupent pas (en particulier chaque point Pi doit être relié à un unique point Fk). ".',' .