Mèfait et bienfait de la science

Pages: 27 (6658 mots) Publié le: 31 janvier 2011
V- Etude de fonctions
Une fonction f (d’une variable réelle) fait passer d’un nombre réel variable x à un nombre y, et cela s’écrit y = f(x) : y est fonction de x. Pour visualiser ce passage, on se place dans un repère orthonormé Ox, Oy formé de deux axes perpendiculaires qui portent des graduations de même longueur. On passe d’un point x sur l’axe des x vers le point correspondant y = f(x) surl’axe de y en construisant un rectangle qui donne le point de coordonnées (x, y=f(x)). Quand x varie, ces points (x , y) donnent une courbe que l’on appelle la courbe représentative de la fonction. On dit aussi qu’il s’agit de la courbe d’équation y = f(x).

1) Ensemble de définition Df d’une fonction
Cet ensemble Df est formé des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe. Quand rencontre-t-ondes problèmes d’existence ? Les seuls cas à notre niveau sont les suivants : • La division par 0 est impossible. • Une racine carrée existe si et seulement si ce qui est sous le radical est supérieur ou égal à 0. • Un logarithme existe si et seulement si ce qui est sous le logarithme est strictement positif. • La fonction trigonométrique tangente (notée tan) n’existe pas lorsque x= π/2 +kπ (kentier relatif). Cet ensemble de définition est soit donné par l’énoncé, dans ce cas on a intérêt à vérifier qu’il est valable, soit il est à déterminer. Exemple : Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f telle que ln x f ( x) = . x −1 La racine carrée existe si et seulement si x ≥ 0. Le logarithme existe si et seulement si x > 0. La division est impossible si et seulement si ledénominateur est nul, soit + x = 1 , ce qui équivaut à x = 1. D’où D = [0 1[ ∪ ]1 +∞[= R* - {1}.

Fonction paire, fonction impaire, fonction périodique
• On dit que la fonction est paire si l’on a f(- x) = f(x) pour tout x de Df . Cela signifie que les deux points (x , y = f(x) ) et (- x , f(- x) = f(x) = y) sont symétriques par rapport à l’axe des y, et ils sont tous les deux sur la courbe de f . Lacourbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe vertical. L’avantage est que l’on peut se contenter d’étudier

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la fonction pour x≥ 0. • On dit que la fonction est impaire si l’on a f(- x) = - f(x) pour tout x de Df. Cela signifie que les points de la courbe (x , y=f(x)) et (- x , f(-x)= -f(x)= -y) sont symétriques par rapport au point O. Là encore, on peut se contenter deréduire l’intervalle d’étude aux x ≥ 0. • • • • • • • • On dit que la fonction est périodique, de période T, si f(x+T)= f(x) pour tout x de R. Il suffit de tracer une partie de la courbe sur un intervalle de longueur T, puis de la reproduire indéfiniment à gauche et à droite sur les intervalles successifs de longueur T. Un exemple typique de fonction périodique est la fonction trigonométrique sinus, quiadmet pour période (la plus courte) T = 2π, puisque sin(x+2π) = sin x. On peut réduire l’intervalle d’étude à [0 , 2π] ou si l’on préfère à [-π , π], ou encore à n’importe quel intervalle pourvu qu’il ait pour longueur 2π.

Changement de repère par translation des axes
On est amené à faire un changement de repère lorsque l’on désire simplifier l’équation d’une courbe. Notamment, si celle-cisemble présenter un axe de symétrie vertical, sans être l’axe des y, la fonction correspondante n’est pas paire, mais si l’on prend un nouveau repère avec ce nouvel axe vertical, l’équation de la courbe va correspondre à une fonction paire, et cela prouve qu’il existe un axe de symétrie vertical. Considérons deux repères qui se déduisent par translation, c’est-à-dire que leurs axes restent parallèlesdeux à deux. Le repère initial est Ox, Oy, et le nouveau repère est O’X, O’Y, avec O’ ayant pour coordonnées (xO’, yO’) dans l’ancien repère. Un point M a pour coordonnées (x, y) dans l’ancien repère, et (X, Y) dans le nouveau. La formule de passage liant les deux coordonnées est :  x = xO ' + X comme cela se voit sur le dessin.   y = yO ' + Y

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