EISTI - CPI - DM Avril 2015 : Les Equations Différentielles
Introduction :
Une équation différentielle est une égalité reliant une fonction inconnue, généralement notée y, et ses dérivées successives y , y , ..., y (k) . Cette relation peut faire apparaitre d’autres fonctions ainsi que la variable, t ou x.
Exemples :
1. y − (2x2 + 1)y + y 2 = xex
2. y 3 + ty y + y ln t = t2 − 1
Une fonction f est solution de la première équa-diff si :
∀x ∈ R, f (x) − (2x2 + 1)f (x) + f (x)2 = xex
Elle est solution de la deuxième équa-diff si :
∀t > 0, f (3) (t) + tf (t)f (t) + f (t) ln t = t2 − 1
Exercice 1. Vérifiez que les fonctions suivantes sont solution des équations-différentielles indiquées :
√
1. f (x) = 2e−x cos(x 3) pour l’équa-diff : y + 2y + 4y = 0.
1
2. f (x) = pour l’équa-diff : x(x − 1)y + 3y − 6y = 0.
(x − 1)2
1
2
3. f (x) = 3e−x + pour l’équa-diff : y + 2xy = x.
2

Partie 1 : Equa-diff linéaires du premier ordre :
Nous nous intéressons aux équa-diffs de type :
(E) y + a(x)y = b(x)
L’équation peut aussi se présenter sous la forme : u(x)y + v(x)y = w(x), dans ce cas, on se place dans un intervalle I où u(x) = 0 et on divise par u(x) pour se retrouver dans la première forme. Pour résoudre une telle équation, on procède en général en deux étapes :
1. on résout l’équation homogène, obtenue en remplaçant le second membre par zéro,
(H) y + a(x)y = 0 la solution générale est alors notée yh .
2. on cherche une solution particulière yp de l’équation initiale.
1

La solution générale de (E) est alors la somme des deux : y = yh + yp .
Elle comporte toujours une constante, notée en général λ, qui ne peut être déterminée que par une condition initiale.

a) Résolution de l’équation homogène :
Les solutions de l’équation (H) y + a(x)y = 0 sont les fonctions y(x) = λeF (x) où F (x) est une primitive de −a(x) et λ un réel quelconque.
Exemple : (H) xy − y = 0 on se place dans un intervalle où x = 0, ]0, +∞[ par exemple
1
1 et on divise par x, on a alors (H) ⇐⇒ y − y = 0, donc −a(x)