Mathématiques DM

Pages: 5 (1379 mots) Publié le: 25 mai 2015
EISTI - CPI - DM Avril 2015 : Les Equations Différentielles
Introduction :
Une équation différentielle est une égalité reliant une fonction inconnue, généralement notée
y, et ses dérivées successives y , y , ..., y (k) . Cette relation peut faire apparaitre d’autres fonctions ainsi que la variable, t ou x.
Exemples :
1. y − (2x2 + 1)y + y 2 = xex
2. y 3 + ty y + y ln t = t2 − 1
Une fonction f estsolution de la première équa-diff si :
∀x ∈ R, f (x) − (2x2 + 1)f (x) + f (x)2 = xex
Elle est solution de la deuxième équa-diff si :
∀t > 0, f (3) (t) + tf (t)f (t) + f (t) ln t = t2 − 1
Exercice 1. Vérifiez que les fonctions suivantes sont solution des équations-différentielles indiquées :

1. f (x) = 2e−x cos(x 3) pour l’équa-diff : y + 2y + 4y = 0.
1
2. f (x) =
pour l’équa-diff : x(x − 1)y +3y − 6y = 0.
(x − 1)2
1
2
3. f (x) = 3e−x + pour l’équa-diff : y + 2xy = x.
2

Partie 1 : Equa-diff linéaires du premier ordre :
Nous nous intéressons aux équa-diffs de type :
(E) y + a(x)y = b(x)
L’équation peut aussi se présenter sous la forme : u(x)y + v(x)y = w(x), dans ce cas, on se
place dans un intervalle I où u(x) = 0 et on divise par u(x) pour se retrouver dans la première
forme.
Pourrésoudre une telle équation, on procède en général en deux étapes :
1. on résout l’équation homogène, obtenue en remplaçant le second membre par zéro,
(H) y + a(x)y = 0
la solution générale est alors notée yh .
2. on cherche une solution particulière yp de l’équation initiale.
1

La solution générale de (E) est alors la somme des deux : y = yh + yp .
Elle comporte toujours une constante, notée engénéral λ, qui ne peut être déterminée que par
une condition initiale.

a) Résolution de l’équation homogène :
Les solutions de l’équation (H) y + a(x)y = 0 sont les fonctions y(x) = λeF (x)
où F (x) est une primitive de −a(x) et λ un réel quelconque.
Exemple : (H) xy − y = 0 on se place dans un intervalle où x = 0, ]0, +∞[ par exemple
1
1
et on divise par x, on a alors (H) ⇐⇒ y − y = 0, donc −a(x) = ,dont une primitive est
x
x
F (x) = ln x, la solution générale est donc :
yh (x) = λeln x = λx.
Exercice 2. Résoudre les équa-diffs homogènes suivantes :
1. y + 4y = 0.
2. x(x − 1)y − 6y = 0.
3. y + 2xy = 0.
4. (x + 1)y − xy = 0.
5. xy + 2y = 0.

6. xy + 5y = 0.
7. (1 + x2 )y − 2xy = 0.

b) Solution particulière de l’équation avec second membre :
Il faut toujours commencer par rechercherd’éventuelles solutions évidentes.
Pensez par exemple à rechercher une solution constante, car dans ce cas y = 0.
Mais dans le cas général, pour trouver une solution particulière de l’équation avec second membre,
on part de la solution générale de l’équation homogène et on remplace la constante λ par une
fonction λ(x) ; c’est la méthode de variation de la constante.
Exemple :
(E) xy − y = x2 + 1
– on a vuque la solution de l’équation homogène (H) était : yh (x) = λx. On cherche donc
une solution de la forme : y(x) = λ(x)x,
– on l’injecte dans l’équa-diff (E), ce qui donne : x[λ (x)x + λ(x)] − λ(x)x = x2 + 1
ou encore λ (x)x2 = x2 + 1, soit
1
λ (x) = 1 + 2
x
– Une solution particulière sera obtenue en prenant :
λ(x) =

(1 +

,

2

1
1
)dx = x −
x2
x

– ce qui donne comme solution particulière del’équa-diff :
yp (x) = λ(x)x = (x −

1
)x = x2 − 1
x

La solution générale de l’équa-diff avec second membre est alors donnée par :
y(x) = yp (x) + yh (x) = x2 − 1 + λx , avec λ réel quelconque.
Exercice 3. Résoudre de la même manière les équa-diffs suivantes (on pourra réutiliser les
résultats de l’exercice 2) :
1. y + 4y = x2 − 5.
2. x(x − 1)y − 6y = 3.
2

3. y + 2xy = 6x2 e−x .
4. (x + 1)y − xy =−4x.
2

5. xy + 2y = x2 + ce−x − 3x + 5.


6. xy + 5y = 10 x.
7. (1 + x2 )y − 2xy = 1 − x2 .

Partie 2 : Equa-diff linéaires du second ordre à coefficients constants :
Nous nous intéressons aux équa-diffs de type :
(E) ay + by + cy = f (x)
Si a = 0 on se retrouve dans le cas d’une équa-diff du premier ordre, dans la suite on se placera
donc dans le cas où a = 0. Dans ce cas on divise...
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