Chapitre 22

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´ SUITES R EELLES OU COMPLEXES

e chapitre consacré à l’étude des suites sera l’un des plus longs et fondamentaux de cette partie du programme d’analyse, ce qui reflète l’importance de la notion, tant du point de vue théorique que pratique. L’idée de suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe siècle pour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels. La notion de suite ne peut être dissociée de celles de mouvement, de quantité en devenir, de dynamique, d’objet concret évoluant vers quelque objet idéal. On ne peut pas vraiment faire un historique de l’idée en tant que telle, car il n’y a pas à proprement parler de théorie des suites qui évolue au cours des âges. Il y a plutôt une multitude de problèmes variés dans lesquels elles interviennent, sinon comme fin, du moins comme moyen. De plus, la notion de suite est intimement liée à celle de « série », c’est-à-dire au problème de la sommation d’une infinité de termes. Donnons quelques exemples choisis, évidemment très fragmentaires, pour illustrer notre propos. Archimède est l’un des premiers à utiliser des suites pour résoudre des problèmes de quadrature, ce dernier terme signifiant étymologiquement la construction d’un carré de même aire qu’une surface donnée1 . Aujourd’hui, il faut tout simplement entendre par là le calcul de l’aire de la surface en question.

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Archimède développe une méthode dite d’exhaustion, qui consiste, pour calculer une telle aire, à encadrer la surface entre deux autres dont la différence des aires est aussi petite que l’on veut. Dans son De la quadrature de la parabole, il établit par exemple la proposition suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené à