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Pages: 52 (12830 mots) Publié le: 9 décembre 2013
Polynˆmes et nombres complexes
o

Table des mati`res
e
1 Polynˆmes
o
1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . .
1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . .
o
1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles
e
e
1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . .
o
e e
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

1
2
3
4
6
7

2 Nombres complexes
2.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
20

3 Suites
3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
31

1

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Polynˆmes
o

D´finition 1 (Polynˆme). Un polynˆme ` coefficients r´els est une suite de nombres r´els
e
o
o
a
e
e
ayant un nombre fini de termes non nuls. L’indice du dernier terme non nul est appel´ le
e
degr´ du polynˆme. La suite dont tous les termes sont nulsest appel´e polynˆme nul et
e
o
e
o
son degr´ et −∞. L’ensemble des polynˆmes a coefficients r´els est not´ R[X].
e
o
`
e
e
Si q ∈ N est le degr´ du polynˆme P , on note q = do (P ) et P = (a0 , . . . , aq ) o` aq = 0,
e
o
u
n´cessairement. On peut aussi noter P en utilisant l’ind´termin´e X de la fa¸on suivante :
e
e
e
c
q

ai X i = a0 + a1 X + · · · + aq X q .

P =
i=0

Unpolynˆme P de degr´ z´ro est une suite dont seul le premier terme a0 est non nul.
o
e e
Un tel polynˆme est appel´ polynˆme constant, est identifi´ a son premier terme et on
o
e
o
e `
note P = a0 .

1

Addition des polynˆmes
o
Soit P et Q deux polynˆmes. Le polynˆme P + Q est le polynˆme dont les coefficients
o
o
o
sont les sommes terme ` terme des coefficients de P et Q. Si P = (a0, . . . , ap ) et Q = (b0 , ˙bq )
a
,
avec p ≤ q, alors
P +Q=

(a0 + b0 , . . . , ap + bp )
(a0 + b0 , . . . , ap + bp , bp+1 , . . . , bq )

si p = q ,
si p < q .

En notation avec l’indetermin´e, on a, si p ≤ q,
e
p

q
i

P +Q=

bi X i

(ai + bi )X +
i=0

i=p+1

o` la deuxi`me somme est nulle par convention si p = q.
u
e

Multiplication des polynˆmes
o
Soit P =(a0 , . . . , ap ) et Q = (b0 , . . . , bq ) deux polynˆmes. Le polynˆme P Q est le
o
o
polynˆme dont les coefficients cj sont d´finis par
o
e
j

ai bj−i , 0 ≤ j ≤ p + q

cj =
i=0

en posant ai = 0 si i > p et bi = 0 si i > q. Le polynˆme P Q est de degr´ do (P ) + do (Q).
o
e
Son terme de plus haut degr´ est ap bq X p+q . Si on utilise l’ind´termin´e X, on ´crit
e
e
e
e
p+qj

PQ =

ai bj−i
j=0

Xj ,

i=0

toujours avec la convention ai = 0 si i > p et bi = 0 si i > q. Notamment pour j = p + q,
le seul terme de la somme est ap bq et est n´cessairement non nul.
e
Exemple Soit P = 3X 2 + X + 1 et Q = X 3 − X 2 + 2. Alors
P Q = (3X 2 + X + 1)(X 3 − X 2 + 2) = 3X 5 − 2X 4 + 5X 2 + 2X + 2 .
Multiplication par une constante Soit P un polynˆme et soit Q unpolynˆme cono
o
stant, Q = c, c ∈ R. On notera cP le polynˆme P Q, dont les coefficients sont les coefficients
o
o
de P multipli´s par c. Si c = 0, alors d (cP ) = do (P ). Si c = 0 alors cP = 0.
e

1.1

Division euclidienne

Th´or`me 1. Soit A et B deux polynˆmes, B = 0. Il existe un unique couple de polynˆmes
e e
o
o
(Q, R) tels que
A = BQ + R , do (R) < do (B) .
2

Remarques
–L’unicit´ du couple (Q, R) est garantie par la condition do (R) < do (B).
e
– Si le reste de la division euclidienne de A par B est nul, on dit que B divise A, ou
que B est un diviseur de A ou que A est un multiple de B.
– Les constantes non nulles divisent tous les polynˆmes.
o
Exemples
Division euclidienne de X 4 + X 2 + 1 par X 2 + 1.
X 4 + X 2 + 1 = X 2 (X 2 + 1) + 1 .
Division...
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