■ Exercice 3 (4 points)
Objet de l’exercice : Recherche d’une fonction. Connaissances mathématiques : – Dérivées usuelles. – Sens de variation. – Fonction exponentielle. – Équations différentielles. m 1. On

suppose qu’il existe une fonction f , dérivable sur , telle que :

⎧ f ( – x ) f ′ ( x ) = 1 pour tout x ∈ . ⎨ ⎩ f (0) = – 4 Soit g la fonction définie pour tout x ∈ par g ( x ) = f ( – x ) f ( x ) . f ( – x ) f ′ ( x ) = 1 , donc pour tout x ∈ a) Pour tout x ∈ f (– x) ≠ 0 et f ′ ( x ) ≠ 0 . On en déduit que pour tout x ∈ f (x) ≠ 0 . Par suite, l’équation f ( x ) = 0 n’admet aucune solution dans . f ne s’annule pas sur . b) Pour tout x ∈ g ′(x) = – f ′(– x) × f (x) + f (– x) × f ′(x) g ′(x) = f (– x) f ′(x) – f ′(– x) f (x) g ′(x) = 1 – 1 g ′ ( x ) = 0.
c) Du résultat précédent, on déduit que pour tout x ∈ est une constante réelle. Nous avons : g ( 0 ) = [ f ( 0 ) ]2 g ( 0 ) = 16 donc pour tout x ∈ g ( x ) = 16 . 1 d) Soit (E) l’équation différentielle : y ′ = ----- y . 16 Pour tout x ∈ f (– x) f ′(x) = 1 et nous avons montré que f ne s’annule pas sur .

g ( x ) = k où k

©HATIER

f ( – x ) f ′ ( x ) = 1 équivaut donc à : f (– x) f (x) f ′(x) = f (x) g (x) f ′(x) = f (x) 16 f ′ ( x ) = f ( x ) 1 f ′ ( x ) = ----- f ( x ) 16 donc f est solution de (E). D’autre part, nous avons f ( 0 ) = – 4 en utilisant la condition c). m 2. a) La fonction h définie pour tout

x∈

par h ( x ) = e 16 est solution

x -----

de (E). Supposons qu’il existe une fonction u dérivable sur telle que la fonction u × h soit solution de (E). uh est solution de (E) si et seulement si, pour tout x ∈ ,
--------1 ----- 1 u′ ( x )e 16 + u ( x ) × ----- e 16 = ----- u ( x )e 16 16 16 x ----16 u′ ( x )e x x x

=0 u′ ( x ) = 0 car pour tout x ∈ u ( x ) = K où K ∈ .

e 16 ≠ 0 x ----16 Ke

x -----

L’ensemble des solutions de (E) est l’ensemble des fonctions x où K ∈ .
b) Ke 16 = – 4 équivaut à K = – 4 .
0 -----

Il existe une unique solution à l’équation (E) prenant