CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION

1 Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique
1. Nombre dérivé
• Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles, dont a est un élément. Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d’accroissement de f en a. On note lim f ( x ) – f ( a ) = f ′ ( a ) ou bien en posant x = a + h : -------------------------x→a x–a lim f ( a + h ) – f ( a ) = f ′ ( a ) . -----------------------------------x→a h Remarque : si la limite du taux d’accroissement en a est infinie ou n’existe pas, alors la fonction f n’est pas dérivable en a. • Dire que la fonction f est dérivable en a, de nombre dérivé f ′ ( a ) signifie que pour tout h suffisamment proche de zéro, on peut écrire : f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hϕ ( h ) où ϕ est une fonction telle que lim ϕ ( h ) = 0. h→0 On en déduit une approximation de f ( a + h ) appelée approximation affine tangente : f ( a + h ) ≈ f ( a ) + hf ′ ( a ) .

2. Interprétation géométrique
G Interprétation

du nombre dérivé Soit A ( a ; f ( a ) ) un point de la courbe ble en a.

représentant la fonction f, dériva-

Le nombre dérivé f ′ ( a ) est le coefficient directeur de la tangente TA en A à la courbe . La tangente TA a pour équation : y = f ′ ( a ) ( x – a ) + f ( a ).
G Interprétation de l’approximation affine tangente Soit g la fonction affine dont la représentation graphique est TA : g ( x ) = f ′ ( a ) ( x – a ) + f ( a ) d’où g ( a + h ) = hf ′ ( a ) + f ( a ).

Le réel g ( a + h ) est l’approximation affine tangente de f en a.
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L’approximation affine tangente consiste à approcher f ( a + h ) (ordonnée de B) par g ( a + h ) (ordonnée de P), quand h est voisin de zéro, donc lorsque le point B sur f est voisin de P sur TA.

f(a + h) g(a + h) f (a)

B A P

f

TA

O

a

a+h

3. Interprétation cinématique du nombre dérivé
Un mobile se déplace sur