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DEVELOPPEMENTS LIMITES
PLAN I : Généralités 1) Définition 2) Formule de Taylor avec reste intégral 3) Inégalité de Taylor–Lagrange 4) Formule de Taylor–Young 5) Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités 1) Calcul de limites 2) Etude locale d'une courbe y = f(x) 3) asymptotes 4) Etude locale d'un arc paramétré a) Tangente b) Concavité IV : Développements limités usuels Annexe : Energie potentielle et stabilité d'un équilibre. I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn + o(xn) f admet un développement limité au voisinage de x0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1(x–x0) + ... + an(x–x0)n + o((x–x0)n) On retrouve la forme précédente en posant h = x–x0. f admet un développement limité au voisinage de ∞ à l'ordre n si f est de la forme : an 1 a f(x) = a0 + 1 + ... + n + o( n) x x x 1 On retrouve la forme précédente en posant h = . On peut donc toujours se ramener au voisinage de x 0. -1-

Il y a unicité du développement limité, puisque, si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn + o(xn) = b0 + b1x + ... + bnxn + o(xn) alors : (a0–b0) + (a1–b1)x + ... + (an–bn)xn = o(xn) ce qui ne peut se produire que si tous les coefficients sont nuls. (Si l'un d'entre eux est