Maths l2

Pages: 22 (5333 mots) Publié le: 14 mars 2013
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DEVELOPPEMENTS LIMITES
PLAN I : Généralités 1) Définition 2) Formule de Taylor avec reste intégral 3) Inégalité de Taylor–Lagrange 4) Formule de Taylor–Young 5) Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités 1) Somme 2) Produit3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités 1) Calcul de limites 2) Etude locale d'une courbe y = f(x) 3) asymptotes 4) Etude locale d'un arc paramétré a) Tangente b) Concavité IV : Développements limités usuels Annexe : Energie potentielle et stabilité d'un équilibre. I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité auvoisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn + o(xn) f admet un développement limité au voisinage de x0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1(x–x0) + ... + an(x–x0)n + o((x–x0)n) On retrouve la forme précédente en posant h = x–x0. f admet un développement limité au voisinage de ∞ à l'ordre n si f est de la forme : an 1 a f(x) = a0 + 1 + ... + n + o( n) x x x1 On retrouve la forme précédente en posant h = . On peut donc toujours se ramener au voisinage de x 0. -1-

Il y a unicité du développement limité, puisque, si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn + o(xn) = b0 + b1x + ... + bnxn + o(xn) alors : (a0–b0) + (a1–b1)x + ... + (an–bn)xn = o(xn) ce qui ne peut se produire que si tous les coefficients sont nuls. (Si l'un d'entre eux estnon nul, le membre de gauche est équivalent au terme de plus bas degré, qui ne sera pas négligeable devant xn). Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors f admet un développement limité à l'ordre n. Ce sont les formules de Taylor. 2– Formule de Taylor avec reste intégral Soit f de classe C1 sur un intervalle [a, b]. On peut alors écrire : b ⌠ f(b) = f(a) + f '(t) dt ⌡a 1 2 Si f ' estelle–même C , c'est–à–dire si f est C , on peut intégrer cette relation avec u' = 1 et v = f ', soit u = – (b–t) et v' = f" (on prend une primitive u qui s'annule en b). u est choisi de la sorte de façon à s'annuler en b. On obtient : b ⌠ f(b)= f(a) + (b – a) f '(a) +  (b–t) f "(t) dt ⌡a 1 On peut itérer le procéder si on suppose f " C , soit f de classe C3. Posons u' = (b–t) et v = f "(t), soit (b–t)2 u =–et v' = f(3)(t) 2 b (3) 2 f "(a) ⌠ (b–t)2 f (t) dt f(b) = f(a) + (b–a)f '(a) + (b–a) + 2 2 ⌡
a

Par récurrence, on montre alors que, pour f de classe Cn : f "(a) f(n–1)(a) ⌠ f(n)(t) f(b) = f(a) + (b–a)f '(a) + (b–a) + ... + (b–a)n–1 +  (b–t)n–1 dt 2 (n–1)! ⌡ (n–1)!
2 a b

Si f est de classe Cn+1, il suffit en effet de poser u' = v' = f(n+1)(t).

(b–t) (b–t)n et v = f(n)(t), soit u = –et (n–1)! n!

n–1

Cette formule pose des difficultés de mémorisation. En dehors de la démonstration directe, les remarques suivantes permettent de la retrouver facilement : b ⌠ • Pour n = 1, on doit retrouver f(b) = f(a) + f '(t) dt ⌡a (n–1) f (a) • Si on s'arrête à (b–a)n–1 dans la partie polynômiale, alors nécessairement l'intégrale fait (n–1)! intervenir f(n). f(n)(a) • Une valeurapprochée de l'intégrale doit être (b–a)n qui est le terme d'ordre n du n! développement de Taylor. Aussi f(n)(t) doit-il être multiplié par une fonction ayant une valeur prépondérante en a plutôt qu'en b, ce qui est le cas du facteur b–t et a fortiori de ses puissances.

-2-

b (b–t)n–1 • La puissance de b–t se retrouve en remarquant que ⌠  (n–1)! dt donne exactement le coefficient ⌡a n (b–a)...
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