CHAPITRE II
Limite d’une fonction Cons´ quences sur sa repr´ sentation graphique e e

• On a lim f (x) n’existe pas : il est n´ cessaire de pr´ ciser la facon de faire tendre x vers 0. e e ¸ x−→0 Pour que cette limite ait un sens, x ne doit pas ≪ traverser ≫ l’ensemble de d´ finition de la fonction. e Exercice 1. D´ terminer les limites suivantes en s’aidant d’un graphique. e (1) lim 3x2 + x − 1 x−→+∞ (2) lim x2 − x + x−→−∞ 1 x

(3) lim

√

x−→2

4x − 1

(4) lim

x−→+∞

4 3x2 + 1

1. Notion de limite
1.1 Un peu d’intuition ´ D´ finition 1. Etudier lim f (x), c’est etudier le comportement des valeurs de f (x) lorsque x se e ´ x−→a ≪

1.2 Limite a droite / a gauche ` ` La fonction f d´ finie par f (x) = e ]0 ; +∞[ a pour limite +∞ en 0 : rap1 n’a pas de limite en 0, mais la restriction de cette fonction a l’intervalle ` x y

proche ≫ de a, avec a r´ el fix´ ou a infini (+∞ ou −∞). e e Cette limite peut etre r´ elle, infinie ou ne pas exister. ˆ e Remarque 1. x se
≪

rapproche ≫ de a signifie que l’´ cart s´ parant x et a diminue mais il n’y a pas de e e

f (x) O On note lim f (x) = +∞ ou encore lim+ f (x) = +∞. x→0 x>0 x−→0

contrainte sur la facon de se rapprocher de a. ¸ Exemple 1. Soit f (x) = x2 d´ finie sur D = ]−∞ ; +∞[ e • On a lim f (x) = 0 = f (0) x−→0 x

x

y f (x) f (x)

De la mˆ me facon, on a lim f (x) = −∞ ou encore lim− f (x) = −∞ : e ¸ x→0 xa

y f (x) x O x f (x) x

ou

x−→a+

lim f (x) = ℓ

(resp.) lim f (x) = ℓ x→a x 0, on a −1 cos x 1 donc − (on divise par x > 0). x x x cos x 1 = 0, on d´ duit par encadrement que lim e = 0. Comme lim x−→+∞ x−→+∞ x x Exemple 1. D´ terminer lim e Exercice 1. Calculer les limites suivantes : (1) lim 3x − 4 cos (2x) x−→+∞ 2/ Montrer que le point Ω (1 , 2) est centre de sym´ trie de C . e 3/ a) D´ terminer lim f (x) et lim− f (x). e x−→+∞ x−→1

(2) lim

x sin x2 x−→−∞ x2 + 1 5/8

(3) lim

cos x − sin x √ x−→+∞ 3 x

b) Que peut-on d´ duire pour