Maths

943 mots 4 pages
Partie A : existence et unicité de la solution
On considère la fonction f défmie sur l’intervalle ]0 ; +1[ par f (x) = x + ln x.
1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +1[.
La fonction f est la somme de deux fonctions strictements croissantes sur ]0 ; +1[, donc f est strictement croissante sur ]0 ; +1 .
2. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée appartenant à l’intervalle ]0 ; +1[.
Afin d’obtenir le tableau de variation complet de f on détermine les limites aux bornes de l’ensemble de définition :
Limite à droite en 0 lim x!0 x>0 x = 0 et lim x!0 x>0 ln x = 1 donc par addition lim x!0 x>0 f (x) = 1
Limite en +1 lim x!+1 x = +1 et lim x!+1 ln x = +1 donc par addition lim x!+1 f (x) = +1
On a donc le tableau de variations : x f
0 +1
1
+1 
0
La fonction f est continue, strictement croissante sur ]0 ; +1[ et l’image de l’intervalle est ] 1 ; +1[, avec 0 qui appartient à ce dernier donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique 2]0 ; +1[, tel que f ( ) = 0.
3. Vérifier que :
1
2 6 6 1.
On remarque que f

1
2

 0:19 et f (1) = 1 + ln(1) = 1.
On a donc f

1
2

< 0 et f (1) > 0, donc comme dans la question précédente par application du théorème des valeurs intermédiaire, on en déduit que
1
2
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Bac S de maths 2009 - Asie
Corrigé de l’exercice 3
Partie B : encadrement de la solution
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +1[ par g(x) =
4x ln x
5
.
1. Étude de quelques propriétés de la fonction g.
a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +1[.
La fonction g est dérivable sur ]0 ; +1[ et pour tout x de cet intervalle : g0(x) =
4
1 x 5
=
4x 1
5x
.
Comme x > 0, le signe de la dérivée est le même que celui du binôme du premier degré 4x 1, on a donc le tableau de variations : x f 0(x)
f

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