1.1 Vocabulaire, rappels

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CHAPITRE 1

Fonctions, applications
19 octobre 2012 1.1. Vocabulaire, rappels 1.1.1. Ensembles, quantificateurs. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques... Exemple 1.1. A = {a, b, c, e} , E = {2, 3, 4, 5} = {x ∈ R, 2 • • • • x 5} ∅ désigne l’ensemble vide. x ∈ A se lit x appartient à l’ensemble A, ou x est élément de l’ensemble A x ∈ A se lit x n’appartient pas à l’ensemble A, ou x n’est pas élément de l’ensemble A / ∀x ∈ E, P (x) se lit : pour tout (ou bien quel que soit) x dans l’ensemble E, la propriété P (x) est vérifiée. Par exemple E = {6n, n ∈ N} la propriété ∀x ∈ E, x est pair est une propriété vraie. Pour démontrer que ∀x ∈ E, P (x), on prend un élément x quelconque de E, on démontre qu’il vérifie la propriété P . Autrement dit, on ne prend pas de x en particulier. Par exemple soit E = {6n, n ∈ Z}, pour montrer la propriété ∀x ∈ E, x est pair, on procède ainsi : soit un élément quelconque de E, appelons-le w, (on peut aussi l’appeler Georges, y,s12 ou x, peu importe) alors w = 6n = 2 × 3n est multiple de 2, donc w est pair. Donc la propriété ∀x ∈ E, x est pair est vraie. • ∃x ∈ E, P (x) se lit : il existe un élément x dans l’ensemble E vérifiant la propriété P (x). Par exemple dans l’ensemble E des nombres pairs, il existe des multiples de 3, ce que l’on écrit : E = {2n, n ∈ N} , ∃m ∈ E tel que est un multiple de 3 par exemple m = 6 est un tel élément. Pour démontrer que ∃x ∈ E, P (x), on exhibe un élément x particulier de E, qui vérifie bien sûr la propriété P . Par exemple soit E = {6n, n ∈ Z}, pour montrer la propriété ∃x ∈ E, x est multiple de 7, on procède ainsi : hum...., voyons, peut-on trouver un élément de E qui soit multiple de 7 ? ..... Ah, oui, bien sûr 42 = 6 × 7 est dans E et multiple de 7. La propriété ∃x ∈ E, x est multiple de 7 est donc vraie. • E et F sont deux ensembles, E ⊂ F se lit E est inclus dans F ou bien E est un sous ensemble de F , ce qui signifie que tout élément de E est aussi dans F