LES LIMITES
Introduction Considérons la fonction ¦ définie sur ]1 ; +¥[ par : ¦(x) = 3x - 4 x -1

· Calculons ses valeurs (arrondies à 10-5 près par défaut) lorsque la variable x devient de plus en plus grande : x ¦(x) 2 2 5 2,75 10 2,88889 50 2,97959 100 2,98989 1 000 2,99899 10 000 2,99989

On constate que lorsque les nombres x deviennent de plus en plus grands, les nombres ¦(x) s'approchent aussi près que voulu du nombre 3. On dira que la limite de ¦ en +¥ est égale à 3. · Calculons maintenant les valeurs de la fonction lorsque la variable x s'approche de plus en plus de la valeur interdite 1 : x ¦(x) 0,5 5 0,8 8 0,9 13 0,99 103 0,999 0,9999 1003 10003 1 1,0001 1,001 -9997 -997 1,01 -97 1,1 -7 1,2 -2 1,5 1 2 2

On constate, cette fois, que selon le côté dont on s'approche de la valeur interdite 1 (droite ou gauche), les nombres ¦(x) n'ont pas du temps le même comportement (puisque à droite les nombres ¦(x) deviennent de plus en plus proche de +¥ tandis qu'à gauche ils deviennent de plus en plus proches de -¥). On dira que la fonction ¦ n'a pas de limite en 1. On pourra cependant nuancer en disant : la limite de ¦ en 1 à gauche est égale à +¥ la limite de ¦ en 1 à droite est égale à -¥

Évidemment, toutes ces considérations purement calculatoires, peuvent avoir un appui graphique : y 7 En -¥, les nombres ¦(x) tendent vers 3. C¦ 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 À droite de la valeur interdite 1, les nombres ¦(x) tendent vers -¥. Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 1 2 3 4 5 6 x C¦ 6 5 À gauche de la valeur interdite 1, les nombres ¦(x) tendent vers +¥. En +¥, les nombres ¦(x) tendent vers 3.

Limites

I) DÉFINITIONS
1. Limite d'une fonction en +¥ Soit ¦ une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a ; +¥[. Définitions intuitives Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes : Si les nombres ¦(x) deviennent de plus en plus · grands(1) , on dit que ¦ a pour limite +¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = +¥ x ® +¥

· grands en