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Pages: 11 (2686 mots) Publié le: 4 janvier 2015
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Définition
On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe
f(x) = ax2 + bx + c , a, b et c étant trois réels avec a ≠ 0.

Exemple
2
Les fonctions f, g, h définies sur IR par : f(x) = 2x2 + 3x + 1 ; g(x) = - 3x2 - x ; h(x) = x + 5
2 3
sont des fonctions trinômes du second degré.

Remarques
• On utilisera parfoisl'expression "trinôme" au lieu de "trinôme du second degré".
L'expression sous la forme f(x) = ax2 + bx + c est appelée forme développée de la fonction trinôme.
Il existe d'autres expressions :
la forme canonique : f(x) = a (x - α)2 + β (α et β étant deux réels)
et dans certains cas la forme factorisée : f(x) = a(x - x1)(x - x2) (x1 et x2 étant deux réels)
*

• Plus généralement on appellefonction polynôme de degré n (n ∈ IN ) , une fonction f définie sur IR par :
f(x) = anxn + an-1 xn-1 + 3 + a1x + a0 ,
an ; an-1 ; 3 ; a1 ; a0 étant des réels avec an ≠ 0.
Exemples : f définie par f(x) = -2x5 + 3x4 + x2 + 2x - 1 est une fonction polynôme de degré 5 .
g définie par g(x) = 1 x6 - x 3 est une fonction polynôme de degré 6.
2

Exercice 01

(voir réponses et correction)

1°)a) Justifier que les expressions :

2x2 + 4x - 30 ;

2 (x + 1)2 - 16

;

2(x - 3)(x + 5)

sont trois formes de la même fonction trinôme f.
b) Calculer f(0) ; f(3) ; f(- 5) ; f(- 1) ; f(- 2)
2°) a) Justifier que les expressions : x2 + 4x + 5 et (x + 2)2 + 1
sont deux formes de la même fonction trinôme g.
b) Démontrer que g(x) est strictement positif pour tout réel x.
c) Est-ilpossible de trouver une forme factorisée de g ?

Exercice 02

(voir réponses et correction)

On considère la fonction trinôme g dont la forme canonique est

g(x) = 3 (x - 1)2 - 9

1°) Déterminer la forme développée et la forme factorisée de g.
2°) Calculer g(0) ; g(1) ; g(4) ; g( 2 ).
3°) Résoudre l'équation g(x) = 0

Définition
On appelle racine d'une fonction trinôme f tout réelx0 pour lequel f(x0) = 0.

Remarque
Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
(Ne pas confondre "racine" avec "racine carrée")

Exercice 03

(voir réponses et correction)

Montrer que le trinôme -x2 + 2x + 1 a pour racine 1 -

Exercice 04

2 .

(voir réponses et correction)

Déterminer un trinôme du second degré dont 1 et - 3 soient racines.http://xmaths.free.fr

1ère S − Trinôme du second degré

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Exercice 05

(voir réponses et correction)

Répondre par V (Vrai) ou F (Faux). Justifier.
1°) On considère la fonction trinôme f définie par
f a pour racine 1

Exercice 06

f a pour forme canonique
2 (x - 2)2 - 6

f a pour racine -1

2°) On considère la fonction trinôme g définie par
g a pour racine 2f(x) = 2x2 - 8x - 4

g(x) = 2(x - 3)(x + 2)

g(4) = 12

g(x) a pour forme développée
4x2 - 4x - 24

(voir réponses et correction)

Soit f(x) = x3 + x2 - 7x + 5 . Calculer f(1).
Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = (x - 1)(ax2 + bx + c)
déterminer.

Exercice 07

où a, b et c sont trois réels à

(voir réponses et correction)

On considère la fonction polynôme fdéfinie par f(x) = 2x3 + 8x2 - 16x - 64.
1°) Démontrer que f a une racine entière α .
(On pourra s'aider d'un graphique ou d'un tableau de valeurs obtenus avec une calculatrice)
2°) Montrer que l'on peut écrire f(x) = (x - α)(ax2 + bx + c) où a, b et c sont trois réels à déterminer.
3°) En déduire toutes les racines de f.

Exercice 08

(voir réponses et correction)

Résoudre leséquations du second degré
1°) x2 - 6x = 0
2°) x2 - 9 = 0
5°) 3x2 - 9 = 0
4°) 2x2 + 7 = 0

Exercice 09

3°) x2 + 5x = 0
6°) 2x2 - 7x = 0

(voir réponses et correction)

1°) Déterminer des réels α et β tels que x2 - 4x + 2 = (x - α)2 + β .
2°) En déduire une factorisation de x2 - 4x + 2 , puis déterminer les solutions de l'équation x2 - 4x + 2 = 0.
3°) Déterminer des réels α et β tels que...
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