TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Définition
On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax2 + bx + c , a, b et c étant trois réels avec a ≠ 0.

Exemple
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Les fonctions f, g, h définies sur IR par : f(x) = 2x2 + 3x + 1 ; g(x) = - 3x2 - x ; h(x) = x + 5
2 3 sont des fonctions trinômes du second degré.

Remarques
• On utilisera parfois l'expression "trinôme" au lieu de "trinôme du second degré".
L'expression sous la forme f(x) = ax2 + bx + c est appelée forme développée de la fonction trinôme.
Il existe d'autres expressions : la forme canonique : f(x) = a (x - α)2 + β (α et β étant deux réels) et dans certains cas la forme factorisée : f(x) = a(x - x1)(x - x2) (x1 et x2 étant deux réels)
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• Plus généralement on appelle fonction polynôme de degré n (n ∈ IN ) , une fonction f définie sur IR par : f(x) = anxn + an-1 xn-1 + 3 + a1x + a0 , an ; an-1 ; 3 ; a1 ; a0 étant des réels avec an ≠ 0.
Exemples : f définie par f(x) = -2x5 + 3x4 + x2 + 2x - 1 est une fonction polynôme de degré 5 . g définie par g(x) = 1 x6 - x 3 est une fonction polynôme de degré 6.
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Exercice 01

(voir réponses et correction)

1°) a) Justifier que les expressions :

2x2 + 4x - 30 ;

2 (x + 1)2 - 16

;

2(x - 3)(x + 5)

sont trois formes de la même fonction trinôme f.
b) Calculer f(0) ; f(3) ; f(- 5) ; f(- 1) ; f(- 2)
2°) a) Justifier que les expressions : x2 + 4x + 5 et (x + 2)2 + 1 sont deux formes de la même fonction trinôme g.
b) Démontrer que g(x) est strictement positif pour tout réel x.
c) Est-il possible de trouver une forme factorisée de g ?

Exercice 02

(voir réponses et correction)

On considère la fonction trinôme g dont la forme canonique est

g(x) = 3 (x - 1)2 - 9

1°) Déterminer la forme développée et la forme factorisée de g.
2°) Calculer g(0) ; g(1) ; g(4) ; g( 2 ).
3°) Résoudre l'équation g(x) = 0

Définition
On appelle racine d'une fonction trinôme f tout réel