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ELEMENTS DE CORRECTION DOSSIER 2Exercice 2.1 : Utilité marginale
On sait qu’à l’optimum, l’utilité marginale pondérée par les prix doit être identique pour tous les biens. Dans la situation initiale, l’utilité marginale pondérée du fromage est de 6/3 = 2 ; celle du vin est de 8/10 = 0,8. L’utilité marginale étant décroissante avec les quantités consommées, pour maximiser sa satisfaction, le consommateur doit donc acheter plus de fromage et moins de vin : ainsi il réduira l’utilité marginale pondérée du fromage et augmentera celle du vin.
Exercice 2.2 : Utilité marginale et TMS
1) : Définition
Um x ( x, y ) = 1 X 4 Y 4 2) Equation 1 : −3 UmY ( x, y ) = 1 Y 4 X 4 Equation 2 :
−3 1 4
1
4
Um x ( x, y ) = αX α −1Y β UmY ( x, y ) = βX α Y β −1
−1 2
Um x ( x, y ) = 1 X 2 Equation 3 : 1 UmY ( x, y ) = X 2 3) TMS : Définition
Y
Equation 1 : TMS X / Y
Equation 2 : TMS X / Y
1 Y 4X 4 X = = 4 −3 1 = Um X ( X , Y ) 1 X 4 Y 4 Y 4 α β −1 β X βX Y = = α −1 β α Y αX Y Um y ( X , Y )
−3
1
Equation 3 : TMS X / Y =
X 1 X 2
1
2 2
−1
=2 Y
X Y
Exercice 2.3 : Programme de maximisation
U ( x, y ) = 4 x 2 y 2 1) Pour déterminer si cette fonction vérifie la convexité des préférences, nous allons tout d’abord déterminer l’équation de la courbe d’indifférence. Nous étudierons ensuite son signe. Y= U 1/ 2 2X
Donc,
∂Y − U 1/ 2 = ∂X 2X 2
∂ 2Y U 1 / 2 Par conséquent : = > 0 Nous avons donc convexité des préférences ∂X 2 X3 2) TMS Y / X = Um X ( X , Y ) 8 XY 2 Y = = UmY ( X , Y ) 8 X 2Y X
PX PY P P Y Par conséquent : TMS Y / X = X = ⇒Y = X X PY X PY Nous introduisons cette équation dans la contrainte budgétaire : R = PX X + PY Y P R D’où : R = PX X + PY X X ⇒ X = PY 2 PX P R R Et, Y = X = PY 2 PX 2 PY
3) Nous savons qu’à l’optimum, TMS Y / X =
Exercice 2.4 : Programme de maximisation avec solutions en coin
U ( X , Y ) = 6 X + 3Y
1) Equation des courbes d’indifférence :
U 0 = 12 ⇒ 12 = 6 X + 3Y Y = 4 − 2X U 1 =