Modèle de markowitz

Pages: 12 (2997 mots) Publié le: 8 mars 2013
Modèle de Markowitz
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Le modèle développé par Markowitz en 1952 et 1959 repose sur l’idée que les agents économiques sont rationnels et ont de l’aversion pour le risque. Markowitz fait l’hypothèse de la diversification et que l’agent économique essaye d’obtenir un rendement max pour un risque donné. Le modèle fait la double hypothèse que :




les marchés d'actifs financiers sontefficients. C'est l'hypothèse d'efficience du marché selon laquelle les prix et rendements des actifs sont censés refléter, de façon objective, toutes les informations disponibles concernant ces actifs. les investisseurs sont averses au risque (comme montré par Daniel Bernoulli) : ils ne seront prêts à prendre plus de risques qu'en échange d'un rendement plus élevé. À l'inverse, un investisseur quisouhaite améliorer la rentabilité de son portefeuille doit accepter de prendre plus de risques. L'équilibre risque/rendement jugé optimal dépend de la tolérance au risque de chaque investisseur.
M. BENALI

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1. L’analyse du couple Rendement/Risque On suppose généralement que la préférence de l'investisseur pour un couple risque / rendement donné peut être décrite par unefonction d'utilité quadratique. De plus, les évolutions du marché sont supposées suivre une distribution symétrique de Pareto. Par conséquent, seuls le rendement attendu (l'espérance de gain) et la volatilité (l'écart type) sont les paramètres examinés par l'investisseur. Selon le modèle :
• •

le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui des actifs qui le composent,pondérés par leur poids dans le portefeuille. ; la volatilité du portefeuille est une fonction de la corrélation entre les actifs qui le composent. Cette fonction n'est pas linéaire.
M. BENALI

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Le rendement d’un titre ou d’un portefeuille est donné par la formule suivante : où représente le gain en capital sur la période et D le revenu de la période (pour l’action c’estles dividendes). Markowitz suppose que les rendements des actifs financiers sont aléatoires dont les valeurs sont distribuées selon la loi normale :
Espérance mathématique Mesure la rentabilité espérée
M. BENALI

Écart-type = volatilité Mesure le risque

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Rendement attendu ou espéré (ou espérance des rendements) :
Pour évaluer la rentabilité future d’uninvestissement, il faut prévoir les rentabilités possibles et leur affecter des probabilités. Le rendement attendu correspond à la moyenne des valeurs possibles, c’est-à-dire la somme de leurs valeurs pondérées par leur probabilité d’occurrence.

M. BENALI

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Exemple 1 : Calcul du rendement attendu Les rendements possibles des titres A et B sont :
Événements Rendementspossibles de A
Rendements possibles de B Probabilités d’occurrence

Croissance
60 %

Stabilité
15 %

Récession
- 15 %

20 % 0,5

10 % 0,3

-8% 0,2

M. BENALI

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L’opérateur d’espérance est linéaire, il vérifie la propriété suivante :

Avec les proportions de la richesse de l’investisseur placées dans les titres i = 1, ………, N.

L’espérance des rendementsd’un portefeuille de titres est égale à la somme pondérée des espérances des titres qui le composent.
En prenant les mêmes données de l’exemple 1, calculez le rendement attendu du portefeuille sachant que l’investisseur place sa richesse de la manière suivante : 60 % investie dans l’action et le reste dans B.
M. BENALI

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La volatilité et l’écart-type

Lavolatilité est par définition une mesure des amplitudes des variations du cours d’un actif financier. La volatilité d’un titre dépond de l’amplitude des résultats possibles et des probabilités que les valeurs extrêmes se produisent. La volatilité d’une action est d’autant plus grande qu’il y a une grande étendue des rentabilités possibles, et que les rentabilités extrêmes ont une forte probabilité...
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