La régression linéaire
Objectif :
On souhaite expliquer une variable par d’autres vriables en cherchant un modèle entre la variable expliquée et la ou les variables explicatives.
Exemple.
On considère le nombre d’articles d’un produit vendus par une entreprise au cours des 5 dernières années.

Année
2005
2006
200
2007
2008

Vente (milliers)
14
16
20
21
24

1. Nuage statistique.

vente d'un produit ( milliers )

Vente

30
20
10
0
2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Année

D’après ce graphique la vente augmente linéairement avec le temps, d’où l’existence d’une tendance linéaire entre la vente et le temps.

1

2. Caractéristiques.

Année
2004
2005
2006
2007
2008

Rang xi 1
2
3
4
5

Vente yi 14
16
20
21
24

Xi
-2
-1
0
1
2

Yi
-5
-3
1
2
5

Xi^2
4
1
0
1
4

Yi^2
25
9
1
4
25

Xi Yi
10
3
0
2
10

Total

15

95

0

0

10

64

25

i) Moyenne arithmétique. n •

x=

∑x i=n i

n

=

15
=3
5

=

95
= 19
5

n

•

y=

∑y i =n

n

i

ii) Dispersion.

X i = xi − x , Yi = yi − y

Posons
On a
•
•

∑ (x − x ) = ∑ X
N

i =1
N

N

i

∑ (y i =1

i

i =1
N

)

i

=0

− y = ∑ Yi = 0 i =1

N

(

)

2

2

(

)

2

•

V ( x) =

1
1 N
10
xi − x = ∑ X i =
=2
∑
N i =1
N i =1
5

•

V ( y) =

1 N
1 N
64,5
yi − y = ∑ Yi =
= 12,8
∑
N i =1
N i =1
5

•

σ ( x) = V ( x) = 2 = 1,41

•

σ ( y ) = V ( y ) = 12,8 = 3,58

2

iii) Covariance
•

Cov( x, y ) =

(

)(

)

1 N
1 N
25
xi − x yi − y = ∑ X iYi =
=5
∑
N i =1
N i =1
5

2

iv) Coefficient de Corrélation linéaire.
Le coefficient de corrélation linéaire mesure le degré de la dépendance linéaire entre deux variables.

Rx, y =

Cov( x, y )

σ xσ y

Propriétés
• − 1 ≤ Rx , y ≤ 1
N

•

Rx, y =

∑X Y

i i

i =1

N

N

i =1

i =1

∑ X i2 ∑Yi 2