Nombres complexes et fractales
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nombres complexesComme on l’a vu précédemment il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. On a donc pu observer que presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Il existe par ailleurs toute une série d’objets fractals qu’il est possible de construire à partir d’opérations simples de la géométrie euclidienne. Certains sont des figures planes, d’autres déploient leur structure dans l’espace. Mais si l’on applique le procédé d’itération à des formules même très simples, en utilisant les nombres complexes, on entre dans un monde fabuleux, beau et étonnant de formes étranges. Les nombres complexes permettent donc d’étudier et de générer des objets fractals tels que les ensembles de Julia et de Mandelbrot.
Mais qu’est ce qu’un nombre complexe ?
On définit un nombre, noté i, tel que i2 = -1. Ce nombre n'est donc pas un réel car cette opération était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres réels un carré est toujours positif. Il appartient donc à l'ensemble C des nombres complexes, qui inclut aussi l'ensemble R des nombres réels. Les règles de calcul usuelles dans R sont aussi valables dans C. Les opérations d'addition, de multiplication, ... sont généralisées à C. en effet l'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité que sur les nombres réels.
Tout nombre complexe z peut s'écrire comme une somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire :
z = x + yi
Où x et y sont deux réels et i la racine carrée de -1.
x est donc la partie réelle du nombre et y est la partie imaginaire.
Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z = bi. Un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel.
Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire