photo journalisme
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Int´gration e 1D´finition de l’int´grale e e
D´finition 1 F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est d´rivable sur I et si e e
∀x ∈ I : F (x) = f (x)
Th´or`me 1 Toute fonction d´rivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. e e e Th´or`me 2 Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I, il existe une constante C telle que e e
∀x ∈ I : F (x) = G (x) + C
D´finition 2 Soit f une fonction d´rivable sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b] . e e b L’int´grale de f sur [a; b] est le r´el not´ e e e f (x) dx d´fini par e a
b a b
f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]a b Remarque 1 x est une variable ”muette”.
b
f (x) dx = a a
f (t) dt = · · ·
Th´or`me 3 Soit f d´rivable sur l’intervalle I et soit a ∈ I. Alors, pour tout x de I : e e e x
F (x) = a f (t) dt ⇒
F (x) = f (x)
F (a) = 0
Remarque 2 F est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
2
Interpr´tation g´om´trique e e e
On suppose f et g d´rivables sur [a; b] e A repr´sente l’aire de la partie hachur´e, en unit´s d’aire : e e e f ≥ 0 sur [a; b]
f ≤ 0 sur [a; b]
y
f ≥ g sur [a; b] y y a O
b
Cf
x
b a a
O
b
x
Cg
b
A=
b
f (x) dx a x
O
A=−
b
f (x) dx a A=
a
[f (x) − g (x)] dx
Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiff
Int´gration e 3
2
Propri´t´s de l’int´grale e e e Th´or`me 4 (relation de Chasles) Soit f d´rivable sur un intervalle I et soient a, b et c des ´l´ments e e e ee de I. c c
b
f (x) dx
f (x) dx =
f (x) dx +
a
b
a
Th´or`me 5 Si f et g sont d´rivables sur [a; b] : e e e b
b
b
a
a
a
g (x) dx
f (x) dx +
(f (x) + g (x)) dx =
Th´or`me 6 Si f est d´rivable sur [a; b] et si λ est un nombre r´el : e e e e b b
f (x) dx
λ.f (x) dx = λ a a
b
Th´or`me 7 Si f est d´rivable et positive sur