Precision

Sciences Industrielles

Précision des systèmes asservis

Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot

IA.

PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS
Position du problème

1. Présentation On a vu que le rôle d’un système asservi est de faire suivre à la sortie s(t) une loi déterminée en général par l’entrée e(t). Un système est jugé par sa stabilité, par la précision avec laquelle il suit la loid’entrée. Les sources d’erreur sont à la fois les variations de l’entrée mais aussi les effets des perturbations On distingue deux type d’erreurs L’erreur statique : c’est l’erreur en régime permanent entre la sortie et la loi d’entrée. Pour déterminer cette erreur on soumet le système à des entrées canoniques: • échelon, on parle alors d’erreur indicielle; • rampe , erreur de traînage ou erreur depoursuite; • accélération, erreur en accélération. L’erreur dynamique : c’est l’écart instantané entre la sortie et l’entrée lors de la phase transitoire suivant l’application de l’entrée ou après une perturbation (hors du programme). 2. Données Dans la suite, on supposera que la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié peut être mise sous la forme : FTBO = O( p) = F ( p) ⋅ R( p) (retournon unitaire) Cas d’un système à retour non unitaire : S(p) E(p) ε(p) F(p)

FTBO = O( p) = F ( p)

(retour unitaire)

R(p)

La FTBO peut s’écrire dans tous les cas sous la forme

O( p) =
avec

p α ⋅ D( p)

K ⋅ N ( p)

Cas d’un système à retour unitaire : S(p) E(p) ε(p) F(p)

N ( 0) = 1 D(0) = 1 ⎧ ⎪ α ≥0 ⎨ α = classe ⎪ K = gain statique ⎩
B. 1. Erreur statique Ecart en régimepermanent - erreur statique

a) Définition, L’écart en régime permanent est la limite quand t tend vers l’infini de e(t)-s(t). Un système sera précis si cet écart tend vers 0, c’est à dire que la sortie tend vers la valeur spécifiée de l’entrée. Remarque: dans le cas d’un retour non unitaire, l’écart se mesure entre e(t) et m(t), avec m(t) mesure de s(t). Par la suite nous considérons le cas dessystèmes à retour unitaire.

ε ( p ) = E ( p ) − S ( p) = E ( p) −

1 + O( p)

O( p)

⋅ E ( p)

K ⋅ N ( p) ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ pα ⋅ D p p α ⋅ D( p) ⎟ ⋅ E ( p) donc : ε p = ε ( p) = ⎜ 1 − ⋅E p en remplaçant ⎜ K ⋅ N ( p) ⎟ pα ⋅ D p + K ⋅ N p ⎟ ⎜ 1+ α p ⋅ D( p) ⎠ ⎝

( )

( )

( )

( )

( )

Nous supposerons pour la suite que le système est stable, donc nous pouvons utilisez le théorème dela valeur finale: 28/10/03 Systèmes asservis page 1/5

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Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot

lim t →∞ s( t ) = lim p→ 0 [ p ⋅ S ( p)]
Ici on peut donc écrire pour l’écart : ε s =

ε ( ∞) = lim p→0 p ⋅ ε ( p)

⎡ ⎤ p α ⋅ D( p) ε s = lim p→O ⎢ p ⋅ α ⋅ E ( p) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ p ⋅ D( p) + K ⋅ N ( p) ⎦

[

]

On le voit l’erreurstatique dépend de la nature de l’entrée mais aussi de la fonction de transfert en boucle ouverte, Nous allons dans la suite étudier en fonction des entrées types (échelon, rampe, accélération) et de la nature du système l’erreur statique 2. Réponse à un échelon : Erreur indicielle L’erreur indicielle est l’erreur entre une entrée en échelon et la sortie du système. L’entrée est donc de la forme : e( t )= E 0 ⋅ u( t ) dans le domaine symbolique : E p =

( )

E0 p

⎡ p α ⋅ D( p) E ⎤ ε s = ε ( ∞) = lim p→0 [ p ⋅ ε ( p)] = lim p→O ⎢ p ⋅ α ⋅ 0⎥ ⎣ p ⋅ D( p) + K ⋅ N ( p) p ⎦ ⎡ ⎤ p α ⋅ D( p) ⎡ E 0 ⋅ pα ⎤ ⋅ E 0 ⎥ = lim p→0 ⎢ α ε s = lim p→O ⎢ α ⎥ ⎣ p + K⎦ ⎣ p ⋅ D( p) + K ⋅ N ( p) ⎦
on voit que la précision est fonction de la classe du système a) système de classe α = 0

ε s = lim p→0 ⎢
b)

⎡E0 ⋅ p0 ⎤ E0 ⎥= 0 ⎣ p + K ⎦ 1+ K
système de classe α > 0

⎡ E0 ⋅ pα ⎤ ⎡ E 0 ⋅ pα ε s = lim p→0 ⎢ α ⎥ = lim p→ 0 ⎢ ⎣p + K⎦ ⎣ K
3.

⎤ ⎥=0 ⎦

L’écart de poursuite est l’erreur entre la sortie et une entrée de type rampe e( t ) = a ⋅ t ⋅ u( t ) d’où

Réponse à une rampe : Erreur de poursuite, erreur de traînage

E ( p) =

a p2

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ α p ⋅ D( p) a ⎥ ⎢p⋅ ⋅ ε s = ε ( ∞) = lim p→0...